سوال ۴۵

عدد ‎$N=321000\cdots00$‎ را با تعداد ارقام ‎$1378$‎ در نظر بگیرید. بر روی ‎$N$‎ عمل زیر را تکرار می‌کنیم:

هر بار یک رقم دل‌خواه با مقدار‎$k$‎ ‎($k>0$)‎ را انتخاب می‌کنیم، سپس آن رقم را صفر کرده و به ‎$k$‎ رقم بعدی از چپ به راست یک واحد اضافه می‌کنیم.

آیا با کم‌تر از ‎۱۱‎ بار تکرارِ این عمل می‌توان تمام رقم‌های ‎$N$‎ را به صفر و یک تبدیل کرد؟

پاسخ

مراحل کار به شکل زیر می‌باشد:

$$\xrightarrow{(1)} \quad 3201 \quad \xrightarrow{(2)} \quad 32001 \quad \xrightarrow{(2)} 320001 \\ \xrightarrow{(4)} \quad 3200001 \quad \xrightarrow{(5)} \quad 3011001 \quad \xrightarrow{(6)} \quad 3010101 \\ \xrightarrow{(7)} \quad 3010011 \quad \xrightarrow{(8)} \quad 3001011 \quad \xrightarrow{(9)} \quad 3000111 \quad \xrightarrow{(10)} \quad 0111111$$