سوال ۴

ده نقطه‌ی متمایز ‎$a_2$‎، ‎$a_1$‎،… و ‎$a_{10}$‎ بر روی صفحه‌یی قرار دارند به‌طوری که هیچ سه‌تایی از آن‌ها روی یک خط نیستند. برای هر سه عدد متمایز ‎$j$‎، ‎$i$‎ و ‎$k$‎ مجموع تمام زاویه‌های ‎$\angle{a_ia_ja_k}$‎ به‌طوری که ‎$\angle{a_ia_ja_k}<180^\circ$‎ چند درجه است؟

  1. ‎$18200$
  2. $19800$
  3. $21600$
  4. $33600$
  5. $43200$‎

پاسخ

گزینه (۳) درست است.

به ازای هر سه نقطه‌ی متمایز یک و فقط یک مثلث ایجاد خواهد شد که آن مثلث سه زاویه‌ی کم‌تر از $180^\circ$ داشته و مجموع آن سه زاویه $180^\circ$ می‌باشد. بنابراین جواب مورد نظر برابر $\binom{10}{3} \times 180^\circ$؛ یعنی ۲۱۶۰۰ می‌باشد.