آ) تابع مولدی که دنباله‌ی ضرایب
$(0, C_0, C_1, C_2, \ldots)$
را بسازد، بیابید.
ب) با استفاده از تابع مولد به دست آمده، ثابت کنید
$C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}$.
پیوست‌های سوال:
منظور از $C_n$، عدد کاتالان $n$ است که در کلاس مقدار آن را به دست آوردیم. در این سوال باید از توابع مولد برای به دست آوردن آن استفاده کنید.
می‌توانید از رابطه‌ی بازگشتی $C_n = \sum_{i=0}^{n-1} C_iC_{n-1-i}$ استفاده کنید.
می‌توانید از بسط $(1+x)^\alpha = \sum_{r=0}^\infty \binom{\alpha}{r}x^r$ به ازای هر عدد حقیقی $\alpha$ استفاده کنید.
توجه کنید در قسمت الف، ضریب $x^i$ برابر $C_{i-1}$ بوده و ضریب $x^0$ نیز ۰ می‌باشد. این امر برای راحتی کار شما در نظر گرفته شده است؛ بلکه بیندیشید!