در منطق گزاره‌ای:
آ) فرض کنید $S$ مجموعه‌ای از عبارات و $A$ یک عبارت باشد که لزومن در $S$ نیست. اگر داشته باشیم
$S\vdash A$
و
$S\vdash (\neg A)$
آن‌گاه ثابت کنید به ازای هر عبارت دل‌خواه مانند
$B$
داریم
$S \vdash B$.
ب) فرض کنید $S$ مجموعه‌ای از عبارات و $A$ یک عبارت باشد که لزومن در $S$ نیست. اگر به ازای عبارتی مانند $B$ داشته باشیم
$\Big(S \cup \{(\neg A) \}\Big) \vdash B$
و
$\Big(S \cup \{(\neg A) \}\Big) \vdash (\neg B)$
آن‌گاه داریم
$S \vdash A$.
ج) فرض کنید $A, B$ دو عبارت دل‌خواه باشند. ثابت کنید:
$$\Bigg(\Big((\neg A) \rightarrow B \Big) \rightarrow \Big(\big((\neg A) \rightarrow (\neg B) \big) \rightarrow A \Big) \Bigg)$$
د) فرض کنید $A$ یک عبارت دل‌خواه باشد. ثابت کنید:
$$\Big(\big(\neg(\neg A)) \big) \rightarrow A \Big)$$
پیوست‌های سوال:
$\big(A \rightarrow (B \rightarrow A) \big)$
$\Big(\big(A \rightarrow (B \rightarrow C) \big) \rightarrow \big((A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C) \big)\Big)$
$\Big(\big((\neg A) \rightarrow (\neg B) \big) \rightarrow (B \rightarrow A) \Big)$
تنها قانون منطق گزاره‌ای این است که اگر $A$ و $(A \rightarrow B)$ قابل اثبات باشند، $B$ نیز قابل اثبات است.
در کلاس گفته شد اگر $S$ مجموعه‌ای از عبارات و $A, B$ عباراتی دل‌خواه باشند که $\Big(S \cup \{A \}\Big) \vdash B$ آن‌گاه $S \vdash (A \rightarrow B)$. می‌توانید از این قضیه استفاده کنید.
در تمرین‌تان گفته شد به ازای هر دو عبارت $A, B$ داریم $\big((\neg A) \rightarrow (A \rightarrow B) \big)$. از این حکم نیز می‌توانید استفاده کنید.
در هر یک از قسمت‌های سوال، می‌توانید درستی قسمت‌های قبلی را فرض کنید؛ حتّی اگر اثبات نکرده باشید.