پای
گاهی به عباراتی مانند 1×3×...×101 میرسیم که به صورت ضرب تعدادی زیادی جملهی مربوط به هم است. در ریاضیات نمادی به نام پای (∏) برای سادهنویسی چنین عباراتی وجود دارد. در این صفحه با این نماد آشنا میشوید.
تعریف
فرض کنید دنبالهای به صورت a1,a2,...,an داریم. ضرب اعضای این دنباله (a1×a2×...×an) را در نظر بگیرید. این ضرب را میتوان با نماد پای (∏) به صورت زیر، سادهنویسی کرد:
n∏i=1ai
همچنین اگر بخواهیم ضرب اعضای دنباله از عضو s-ام تا عضو t-ام (as×as+1×...×at) را سادهنویسی کنیم، به صورت زیر از نماد ∏ استفاده میکنیم:
as×as+1×...×at=t∏i=sai
در سادهنویسیهای بالا، i، متغیر پای است. متغیر پای میتواند حروف دیگر نیز باشد. حتی میتوانیم چند متغیر پای داشته باشیم که در ادامه خواهید دید.
در سادهنویسیهای بالا، به ازای i-های مختلف، ضرب تعدادی از جملههای دنباله را سادهنویسی کردهایم. حدود i نیز در بالا و پایین پای مشخص میشود. سادهنویسیهای بالا، مرسومترین روشهای سادهنویسی با نماد ∏ هستند که در آن، حدود i از یک عدد (در پایین پای) تا یک عدد دیگر (در بالای پای) است.
روشهای زیاد دیگری نیز برای سادهنویسی با پای
وجود دارد که در ادامه خواهید دید.
مثال:
عبارات زیر را با پای سادهنویسی کنید:
1×2×...×100
f(1)×f(3)×...×f(2n−1)
a1×2a2×...×nan
2×4×...×2n
1×4×...×10000
ne0×ne1×...×nen
(1−14)×(1−19)×...×(1−1n2)
پاسخ
100∏i=1i
n∏i=1f(2i−1)
n∏i=1iai
n∏i=12i
100∏i=1i2
n∏i=0nei
n∏i=2(1−1i2)
روشهای دیگر سادهنویسی با پای
تمام سادهنویسی با ∏، به صورتی که گفته شد، نیست. روشهای دیگری نیز وجود دارد. در زیر، برخی از آنها را میبینید:
گاهی نیازی نیست حدود متغیر پای را مشخص کنیم؛ یعنی پایین و بالای ∏ چیزی نمینویسیم. این به معنای آن است که به ازای تمام حالتهای متغیر پای، عبارت جلوی پای را حساب کرده و ضرب میکنیم. برای مثال، اگر دنبالهای مانند a1,a2,...,an داشته باشیم، عبارت ∏ai به معنای ضرب تمام اعضای دنباله است.
گاهی حدود متغیر را به روشی دیگر، مشخص میکنیم. برای مثال، برای سادهسازی عبارت f(0)×f(1)×...×f(100) میتوان از عبارت ∏0≤k≤100f(k) استفاده کرد. به عنوان مثالی دیگر، عبارت زیر به معنای آن است که به ازای تمام عضوهای مجموعهی S مانند x، مقدار 2x را حساب میکنیم و این مقادیر را با هم ضرب میکنیم: ∏x∈S2x
گاهی چند متغیر پای داریم. برای مثال، برای سادهسازی عبارت f(1,1)×f(1,2)×...×f(1,10)×f(2,1)×f(2,2)×...×f(2,10)×f(10,1)×f(10,2)×...×f(10,10) از عبارت ∏1≤x,y≤10f(x,y) استفاده میکنیم.
میتوان پایهای تو در تو استفاده کرد. مثلن عبارت f(1,1)×f(1,2)×...×f(1,10)×f(2,1)×f(2,2)×...×f(2,10)×f(10,1)×f(10,2)×...×f(10,10) را میتوان با عبارت 10∏i=110∑j=1f(i,j) سادهسازی کرد. عبارت سادهشدهی بالا به آن معناست که به ازای هر i از ۱ تا ۱۰، عبارت ∏10j=1f(i,j) حساب شود و این مقادیر با هم ضرب شوند.
خواص پای
پای، خواصی دارد که برخی از آنها در زیر آمده است. توجه کنید که نیازی نیست این خواص را حفظ کنید؛ زیرا اکثر این خواص بدیهی هستند و هنگام سادهنویسی و کار با پای، به راحتی به ذهن میرسند. این خواص صرفن جهت آشنایی در زیر نوشته شدهاند:
از آن جایی که f(s)×f(s+1)×...×f(b) × f(b+1)×f(b+2)×...×f(t)=f(s)×f(s+1)×...×f(t) پس b∏i=sf(i)×t∏i=b+1f(i)=t∏i=sf(i)
فرض کنید c، یک عدد ثابت باشد. از آنجایی که (c×f(s))×(c×f(s+1))×...×(c×f(t))=ct−s+1×(f(s)+f(s+1)×...×f(t)) پس t∏i=s(c×f(i))=ct−s+1t∏i=sf(i) در واقع میتوان ضریب ثابت را از پای بیرون کشید.
از آن جایی که f(s)×f(s+1)×...×f(t) + g(s)×g(s+1)×...×g(t)=(f(s)×g(s))×(f(s+1)×g(s+1))×...×(f(t)×g(t)) پس t∏i=sf(i)×t∏i=sg(i)=t∏i=s(f(i)×g(i)) در واقع گاهی به روش بالا میتوان دو پای را ادغام کرد.
از آن جایی که f(s+1)f(s)×f(s+2)f(s+1)×...×f(t+1)f(t)=f(t+1)f(s) پس t∏i=sf(i+1)f(i)=f(t+1)f(s) به این قاعده، قاعدهی ادغام میگویند.
میتوان متغیر پای را مقداری انتقال داد. در واقع: t∏i=sf(i)=t+p∏i=s+pf(i−p)
در پایهای تو در تو، گاهی میتوان جای دو پای را عوض کرد. در واقع: ∏x∏yax,y=∏y∏xax,y
ضربهای نامتناهی
در تمام مثالها و روشهای ذکر شده، سیگما را برای سادهسازی تعداد متناهی جمله به کار بردیم. گاهی میتوان سیگما را برای سادهسازی تعداد نامتناهی جمله نیز به کار برد.
فرض کنید دنبالهای مانند
a1,a2,...
داریم. عبارت a1×a2×... را میتوان با
∞∏i=1ai
سادهنویسی کرد. همانند ضربهای متناهی، روشهای سادهنویسی با پای و خواص پای را میتوان برای ضربهای نامتناهی نیز به کار برد.
مثال:
عبارت زیر را با پای سادهنویسی کنید:
...+e−2x−2+e−1x−1+e0x0+e1x1+e2x2+...
چند مثال
مثال:
عدد طبیعی n را در نظر بگیرید. به ازای هر مضرب طبیعی از n مانند m، مقدار
e(mn)−m
را حساب کرده و این مقادیر را در هم ضرب میکنیم. به عدد حاصل، f(n) میگوییم.
مقدار f(n) را با پای نشان دهید.
مثال:
ثابت کنید:
n∏i=2(1−1i2)=n+12n
راهنمایی
ابتدا ثابت کنید:
1−1k2=k−1k×k+1k
پاسخ
ابتدا ثابت میکنیم:
1−1k2=k−1k×k+1k
داریم:
k−1k×k+1k=k2−1k2=1−1k2
حال حکم اصلی را ثابت میکنیم:
n∏i=2(1−1i2)
=12×32×23×43×...×n−1n×n+1n
با ساده کردن داریم:
n∏i=2(1−1i2)=12×n+1n
=n+12n
یک پله بالاتر
خواص دیگری از پای
پای خواصی دیگر نیز دارد که برخی از آنها در زیر آمده است:
فرض کنید دو مجموعهی
A و
B داریم که به ازای هر عضو
A مانند
x، یک عضو از
A مانند
σ(x) متناظر شده باشد و این تناظر،
یک به یک باشد. در این صورت:
∏y∈Bf(y)=∏x∈Af(σ(x))
از آن جایی که
ab+c=ab×ac، رابطهی زیر بین
سیگما و پای، برقرار است:
c∑ti=sf(i)=t∏i=scf(i)
از آن جایی که
log(x×y)=log(x)+log(y) رابطهی زیر بین سیگما و پای برقرار است:
logb(t∏i=sai)=t∑i=slogb(ai) اگر
b (پایهی لگاریتم) را به توان دو طرف تساوی بالا برسانیم، ثابت میشود که با استفاده از رابطهی زیر یا روابط شبیه به آن، میتوان هر عبارت ساده نوشته شده با پای را، به عبارتی سادهنوشته شده با سیگما تبدیل کرد:
t∏i=sf(i)=b∑ti=slogbf(i) در عبارات بالا،
b میتواند اعداد مختلفی باشد و در جاهای مختلف به کار رود. معمولن در عبارات و قضایای ریاضی، از پایهی
e و در علوم کامپیوتر و الگوریتمها، از پایهی ۲ استفاده میشود.
loge را با نماد
ln و
log2 را با نماد
lg (بخوانید لاگ) نیز نشان میدهند. به عنوان مثالی از کاربرد در الگوریتمها، داریم:
lg(n!)=n∑i=1lg(i) این رابطه در تحلیل پیچیدگی
الگوریتمهای مرتبسازی مبتنی بر مقایسه کاربرد دارد.
منابع و مراجع
-
-
خوانندهی گرامی، لطفا در صورت داشتن پیشنهاد یا مشاهدهی مشکل (علمی، تایپی و …) در این صفحه، به ما اطلاع دهید: