Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

فهرست مندرجات

پای

گاهی به عباراتی مانند 1×3×...×101 می‌رسیم که به صورت ضرب تعدادی زیادی جمله‌ی مربوط به هم است. در ریاضیات نمادی به نام پای () برای ساده‌نویسی چنین عباراتی وجود دارد. در این صفحه با این نماد آشنا می‌شوید.


تعریف

فرض کنید دنباله‌ای به صورت a1,a2,...,an داریم. ضرب اعضای این دنباله (a1×a2×...×an) را در نظر بگیرید. این ضرب را می‌توان با نماد پای () به صورت زیر، ساده‌نویسی کرد: ni=1ai هم‌چنین اگر بخواهیم ضرب اعضای دنباله از عضو s-ام تا عضو t-ام (as×as+1×...×at) را ساده‌نویسی کنیم، به صورت زیر از نماد استفاده می‌کنیم: as×as+1×...×at=ti=sai در ساده‌نویسی‌های بالا، i، متغیر پای است. متغیر پای می‌تواند حروف دیگر نیز باشد. حتی می‌توانیم چند متغیر پای داشته باشیم که در ادامه خواهید دید.

در ساده‌نویسی‌های بالا، به ازای i-های مختلف، ضرب تعدادی از جمله‌های دنباله را ساده‌نویسی کرده‌ایم. حدود i نیز در بالا و پایین پای مشخص می‌شود. ساده‌نویسی‌های بالا، مرسوم‌ترین روش‌های ساده‌نویسی با نماد هستند که در آن، حدود i از یک عدد (در پایین پای) تا یک عدد دیگر (در بالای پای) است. روش‌های زیاد دیگری نیز برای ساده‌نویسی با پای وجود دارد که در ادامه خواهید دید.

مثال: عبارات زیر را با پای ساده‌نویسی کنید:

  1. 1×2×...×100
  2. f(1)×f(3)×...×f(2n1)
  3. a1×2a2×...×nan
  4. 2×4×...×2n
  5. 1×4×...×10000
  6. ne0×ne1×...×nen
  7. (114)×(119)×...×(11n2)

پاسخ

  1. 100i=1i
  2. ni=1f(2i1)
  3. ni=1iai
  4. ni=12i
  5. 100i=1i2
  6. ni=0nei
  7. ni=2(11i2)

روش‌های دیگر ساده‌نویسی با پای

تمام ساده‌نویسی با ، به صورتی که گفته شد، نیست. روش‌های دیگری نیز وجود دارد. در زیر، برخی از آن‌ها را می‌بینید:


خواص پای

پای، خواصی دارد که برخی از آن‌ها در زیر آمده است. توجه کنید که نیازی نیست این خواص را حفظ کنید؛ زیرا اکثر این خواص بدیهی هستند و هنگام ساده‌نویسی و کار با پای، به راحتی به ذهن می‌رسند. این خواص صرفن جهت آشنایی در زیر نوشته شده‌اند:


ضرب‌های نامتناهی

در تمام مثال‌ها و روش‌های ذکر شده، سیگما را برای ساده‌سازی تعداد متناهی جمله به کار بردیم. گاهی می‌توان سیگما را برای ساده‌سازی تعداد نامتناهی جمله نیز به کار برد.

فرض کنید دنباله‌ای مانند a1,a2,... داریم. عبارت a1×a2×... را می‌توان با i=1ai ساده‌نویسی کرد. همانند ضرب‌های متناهی، روش‌های ساده‌نویسی با پای و خواص پای را می‌توان برای ضرب‌های نامتناهی نیز به کار برد.

مثال: عبارت زیر را با پای ساده‌نویسی کنید:

  1. ...+e2x2+e1x1+e0x0+e1x1+e2x2+...

پاسخ

  1. i=eixi

چند مثال

مثال: عدد طبیعی n را در نظر بگیرید. به ازای هر مضرب طبیعی از n مانند m، مقدار e(mn)m را حساب کرده و این مقادیر را در هم ضرب می‌کنیم. به عدد حاصل، f(n) می‌گوییم. مقدار f(n) را با پای نشان دهید.

پاسخ

i=1ei(i×n)

مثال: ثابت کنید: ni=2(11i2)=n+12n

راهنمایی

ابتدا ثابت کنید: 11k2=k1k×k+1k

پاسخ

ابتدا ثابت می‌کنیم: 11k2=k1k×k+1k داریم: k1k×k+1k=k21k2=11k2 حال حکم اصلی را ثابت می‌کنیم: ni=2(11i2) =12×32×23×43×...×n1n×n+1n با ساده کردن داریم: ni=2(11i2)=12×n+1n =n+12n


یک پله بالاتر

خواص دیگری از پای

پای خواصی دیگر نیز دارد که برخی از آن‌ها در زیر آمده است:

  1. فرض کنید دو مجموعه‌ی A و B داریم که به ازای هر عضو A مانند x، یک عضو از A مانند σ(x) متناظر شده باشد و این تناظر، یک به یک باشد. در این صورت: yBf(y)=xAf(σ(x))
  2. از آن جایی که ab+c=ab×ac، رابطه‌ی زیر بین سیگما و پای، برقرار است: cti=sf(i)=ti=scf(i)
  3. از آن جایی که log(x×y)=log(x)+log(y) رابطه‌ی زیر بین سیگما و پای برقرار است: logb(ti=sai)=ti=slogb(ai) اگر b (پایه‌ی لگاریتم) را به توان دو طرف تساوی بالا برسانیم، ثابت می‌شود که با استفاده از رابطه‌ی زیر یا روابط شبیه به آن، می‌توان هر عبارت ساده‌ نوشته شده با پای را، به عبارتی ساده‌نوشته شده با سیگما تبدیل کرد: ti=sf(i)=bti=slogbf(i) در عبارات بالا، b می‌تواند اعداد مختلفی باشد و در جاهای مختلف به کار رود. معمولن در عبارات و قضایای ریاضی، از پایه‌ی e و در علوم کامپیوتر و الگوریتم‌ها، از پایه‌ی ۲ استفاده می‌شود. loge را با نماد ln و log2 را با نماد lg (بخوانید لاگ) نیز نشان می‌دهند. به عنوان مثالی از کاربرد در الگوریتم‌ها، داریم: lg(n!)=ni=1lg(i) این رابطه در تحلیل پیچیدگی الگوریتم‌های مرتب‌سازی مبتنی بر مقایسه کاربرد دارد.

منابع و مراجع


خواننده‌ی گرامی، لطفا در صورت داشتن پیشنهاد یا مشاهده‌ی مشکل (علمی، تایپی و …) در این صفحه، به ما اطلاع دهید: