روش رنگ‌آمیزی

خیر؛ با زوجیت مسئله را حل می‌کنیم. مجموع اعداد در ابتدا فرد است. در هر مرحله به مجموع اعداد ۲ واحد اضافه می‌شود؛ پس هم‌واره فرد می‌ماند. اگر بخواهیم تمام اعداد برابر شوند، مجموع اعداد باید به صورت $6k$ شود که زوج است و امکان ندارد.

این بار راه حل قبل (زوجیت) ما را به پاسخ نمی‌رساند. از روش رنگ‌آمیزی استفاده می‌کنیم. قطاع‌ها را به شکل زیر به صورت یک در میان با قرمز و سفید رنگ کنید: $S_1$ و $S_2$ را به ترتیب مجموع اعداد قطاع‌های قرمز و مجموع اعداد قطاع‌های سفید تعریف می‌کنیم. در ابتدا $S1-S2$ برابر ۲ است. در هر مرحله به مقدار هر یک از $S_1, S_2$ یک واحد اضافه می‌شود؛ پس مقدار $S_1 - S_2$ ثابت می‌ماند. اگر بخواهیم تمام اعداد را برابر کنیم، $S_1-S_2=0$ خواهد شد که امکان ندارد.

همین مسئله را برای یک جدول $8 \times 8$ در زوجیت حل کردیم؛ اما آن روش این‌جا به کار ما نمی‌آید. خانه‌های گوشه‌ی جدول را در نظر بگیرید و آن‌ها را قرمز کنید (توجه کنید ما کاری با رنگ‌های مسئله نداریم و به طور جداگانه این رنگ‌آمیزی را انجام می‌دهیم): حال تعریف می‌کنیم: $$S = \text{تعداد خانه‌های سیاه در گوشه‌ها}$$ زوجیت $S$ با هر حرکت ثابت می‌ماند. از آن‌جایی که $S$ در ابتدا فرد و در انتها زوج است، این کار ممکن نیست.

خیر؛ جدول را به شکل زیر با چهار رنگ، رنگ‌آمیزی کنید: هر کاشی از هر یک از رنگ‌ها دقیقن یکی را می‌پوشاند. پس باید تعداد خانه‌های رنگ‌های مختلف برابر باشد، در حالی که تعداد خانه‌های رنگ سبز از تعداد خانه‌های رنگ قرمز بیش‌تر است.

خیر؛ جدول را به شکل زیر رنگ کنید: هر زیرجدول دقیقن زوج خانه‌ی قرمز را شامل می‌شود. پس در هر مرحله به مجموع اعداد خانه‌های قرمز، زوج واحد اضافه می‌شود. اگر در ابتدا مجموع آن‌ها فرد باشد، نمی‌توان تمام آن‌ها را زوج کرد.

نفر یکم استراتژی برد دارد. او می‌تواند در ذهن خود کارت‌ها را به طور یک در میان با رنگ‌های سیاه و سفید، رنگ‌آمیزی کند. بدون از دست دادن کلیت فرض کنید مجموع اعداد کارت‌های سفید بیش‌تر باشد. در ابتدا از دو کارت کناری ردیف، یکی سیاه و یکی سفید است. نفر یکم کارت سفید را برمی‌دارد؛ سپس نفر دوم مجبور است یک کارت سیاه بردارد و دوباره برای نفر یکم، یک کارت سفید و یک کارت سیاه برای انتخاب موجود است. اگر نفر یکم به همین ترتیب ادامه دهد، نفر دوم مجبور است هم‌واره یک کارت سیاه را بردارد. در انتها تمام کارت‌های سفید برای نفر یکم و تمام کارت‌های سیاه برای نفر دوم خواهد شد و نفر یکم برنده می‌شود.