گاهی جایگشتهایی داریم که عناصر آنها همگی متمایز نیستند. در این صفحه، چنین جایگشتهایی را بررسی میکنیم.
فرض کنید ۴ توپ قرمز، ۳ توپ آبی و ۲ توپ سبز داریم و میخواهیم این توپها را در یک ردیف بچینیم. توجه کنید توپهای همرنگ، یکسان هستند و تمایزی ندارند. تعداد روشهای این کار قطعن 9! نیست زیرا برخی از اشیاء ما متمایز نیستند و حق نداریم با فرمول جایگشتهای خطی مسئله را حل کنیم. پس باید به دنبال راه حل دیگری باشیم.
ما ۹ جایگاه داریم که در آنها میتواند توپ قرار بگیرد. باید ابتدا ۴ جایگشت برای توپهای قرمز، سپس ۳ جایگاه از ۵ جایگاه باقیمانده برای توپهای آبی و در انتها ۲ جایگاه از ۲ جایگاه باقیمانده برای توپهای سبز انتخاب کنیم. پس طبق فرمول ترکیبها و اصل ضرب پاسخ برابر \binom{9}{4}\binom{5}{3}\binom{2}{2}=\frac{9!}{4!5!}\frac{5!}{3!2!}\frac{2!}{2!0!} =\frac{9!}{4!3!2!} خواهد بود. در ادامه فرمولی کلی برای جایگشت باتکرار پیدا میکنیم.
فرض کنید k نوع شیء داریم که از نوع i-ام، a_i شیء موجود است. میخواهیم تعداد جایگشتهای این اشیاء را بیابیم. همانند مثال قبل، پاسخ برابر است با: \binom{a_1+a_2+...+a_k}{a_1}\binom{a_2+a_2+...+a_k}{a_2}...\binom{a_k}{a_k} =\frac{(a_1+a_2+...+a_k)!}{a_1!(a_2+a_3+...+a_k)!}\frac{(a_2+a_3+...+a_k)!}{a_2!(a_3+a_4+...+a_k)!}...\frac{a_k!}{a_k!0!} پس پاسخ برابر است با: \frac{(a_1+a_2+...+a_k)!}{a_1!a_2!...a_k!} اگر فرض کنیم n=a_1+a_2+...+a_k، پاسخ برابر \frac{n!}{a_1!a_2!...a_k!} خواهد بود.
جایگشت با تکرار را با \binom{n}{a_1, a_2, ..., a_k} نیز نشان میدهند.
مثال:
پاسخ