المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:مرحله‌ی دوم:دوره‌ی ۲۴:سوال ۸

سوال ۸

در جدول روبه‌رو می‌توانیم با کشیدن هریک از دو قطر هر خانه٬ یک آینه‌ی دو‌طرفه در آن خانه قرار دهیم. در واقع برای هر خانه سه حالت متصور است. یا آینه‌ای درون آن نیست و یا اینکه یکی از قطر‌های آن کشیده شده است. برای مثال در شکل روبه‌رو دو آینه که با خط‌چین مشخص شده‌اند در جدول وجود دارند. به ازای هر وضعیت جدول٬ مقدار آن وضعیت به این صورت تعیین می‌شود که هر دو عددی که همدیگر را می‌بینند (با توجه به آینه‌ها) در هم ضرب می‌کنیم و مجموع این حاصل ضرب‌ها٬ مقدار آن وضعیت جدول را مشخص می‌کند (دید اعداد به گونه‌ای است که در صورتی که آینه‌ای وجود نداشته باشد هر عددی٬ عدد مقابل خود را می‌بیند). برای مثال مقدار وضعیت روبه‌رو به این صورت محاسبه می‌شود: $1 \times 9 + 3 \times 8 + 2 \times 4 + 5 \times 7 = 76$ .

کم‌ترین مقداری که می‌توان با کمک آینه‌ها برای این جدول به دست آورد چند است؟

  1. ۷۰
  2. ۶۹
  3. ۶۷
  4. ۶۸
  5. ۶۶

پاسخ

گزینه (۳) درست است.

اگر جدول و آینه‌ای در کار نبود کم‌ترین مقدار، زمانی حاصل می‌شد که:

$$1\times 9+2\times 8+3\times 7+4\times 5=66$$

اما امکان ساخت این مقدار در جدول وجود ندارد. اما مقدار زیر را می‌توان ساخت که تنها یک واحد بیش‌تر است و خوب طبیعتا جواب است:

$$1\times 8 +2\times 9+3 \times 7+4 \times 5=67$$


ابزار صفحه