المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


آموزش:الگوریتم:اعداد مختلط و کار با آن‌‌ها

اعداد مختلط

مقدمه

پیشرفت سریع شاخه‌های مختلف ریاضیات در قرون اخیر و پیچیده تر شدن معادلات جبری مورد نیاز برای تفسیر و توجیه رفتار پدیده‌های فیزیکی منجر به آن شد که ریاضی دانان برای ساختار دهی هرچه بیش‌تر به معادلات جبری و تقریب زدن جواب های معادلات پیچیده مفهوم جدیدی را به نام «اعداد مختلط» تعریف کنند.

تعریف

مهم‌ترین عدد تعریف شده دراعداد مختلط عدد i است که ریشه معادله $$x^2+1=0 $$ می‌باشد و نام آن از حرف اول کلمه لاتین Imaginary گرفته شده. هر عدد مختلط از دو قسمت حقیقی و موهومی تشکیل می‌شود و به صورت مجموع ضریبی از i و عددی حقیقی نمایش داده می‌شود. به طور مثال اگر عددی مختلط مانند $z = a + bi$ داشته باشیم، قسمت حقیقی آن a و قسمت موهومی آن b می‌باشد. با توجه به تعاریف یاد شده می‌توان مجموعه اعداد حقیقی را به مجموعه بزرگ‌تری به نام مجموعه اعداد مختلط که با C نمایش می‌دهند گسترش داد.در واقع مجموعه اعداد حقیقی زیر مجموعه‌ای از مجموعه اعداد مختلط می‌باشد، کافیست از میان اعداد مختلط ، اعدادی را در نظر بگیرید که ضریب قسمت موهومی آن‌ها صفر است .

تعریف ریاضی مجموعه اعداد مختلط : $$ C=\left \{a+ib|a, b\in R, i^2=-1\right \} $$

اعمال جبری

اعداد مختلط نیز می‌توانند جمع، تفریق، ضرب و تقسیم شوند : $$\,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$ $$\,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$$ $$\,(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i$$ $$\frac{a + ib}{c + id} = \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}} + i\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}} ← c^2+d^2≠0$$

نمایش هندسی اعداد مختلط

در صفحه مختصات دکارتی، بردار یکه محور Y را 1 و بردار یکه محور X را i در نظر بگیرید.در این گونه از نمایش نقاط ، هر نقطه از صفحه متناظر با عددی مختلط و هر عدد مختلط متناظر با نقطه‌ای یکتا در صفحه است. هم چنین گونه‌ای دیگر از نمایش اعداد مختلط نیز مرسوم است که در این روش هر عدد را با استفاده از یک زاویه و یک فاصله از مبدا نمایش می‌دهند :

$$Z=r(Cos(\phi)+iSin(\phi)$$

هم چنین اعمال اصلی در این سیستم نمایش به شرح زیر است ($Z_1=r_1(Cos(\theta_1)+iSin(\theta_1))$ , $Z_2=r_2(Cos(\theta_2)+iSin(\theta_2))$ ):

$$z_1+z_2=(r_1Cos(\theta_1)+r_2Cos(\theta_2))+i(r_1Sin(\theta_1)+r_2Sin(\theta_2))$$

$$z_1-z_2=(r_1Cos(\theta_1)-r_2Cos(\theta_2))+i(r_1Sin(\theta_1)-r_2Sin(\theta_2))$$

$$z_1 \times z_2=r_1r_2(Cos(\theta1+\theta_2)+iSin(\theta_1+\theta_2)$$

$$z_1 \div z_2=\frac{r_1}{r_2}(Cos(\theta1-\theta_2)+iSin(\theta_1-\theta_2)$$

منابع و مراجع


ابزار صفحه