ترک محفل

سلتی یکی از معدود مشاوران استاد سرداد است که یکی از ریاضی‌دانان برتر جهان است! از آن‌جا که استاد سرداد کمی پیر شده و سلتی استعداد فراوانی در زمینه‌ی نظریه اعداد دارد، در بسیاری از مسائلی که استاد در تلاش به حل آن‌ها است به او کمک می‌کند. هرچند که ذهن او به پختگی استاد سرداد نیست و از این رو بسیاری از مواقع بر سر درستی اثبات‌های مسائلشان به سر و کله‌ی هم می‌پرند. در آخرین دعوایشان، سلتی و استاد سرداد اینگونه باهم به بحث پرداختند و سپس سلتی محفل استاد را به قصد پیدا کردن اثبات قابل قبولی برای مسئله‌ی خود ترک کرد:

سلتی: اگر راست می‌گویی مثال نقضی برای این راه من ارائه بده!

سرداد: عدم ارائه‌ی مثال نقض توسط من به معنای درستی اثبات تو نیست. در برابر حقیقت مقاومت نکن.

سلتی: تو ذهنت کند و فرسوده است. این راه‌حل واضح است که جواب می‌دهد.

سرداد: تنها چیز واضح در این دنیا، اثبات‌های ریاضی است. نگذار غرور و تعصب جلوی منطق تو را بگیرد. این پند را جدی بگیر.

سلتی: بالاخره متوجه می‌شوی؛ اویلر باید کمی به تو درباره‌ی ادراک قوی ریاضی‌دانان نیز آموزش می‌داد…

مسئله‌ای که سر آن به بحث و جدل پرداختند بدین شکل است؛ یک آرایه به طول $n$ داریم که عضو $i$ ام آن برابر با $a_i$ است. سلتی در هر مرحله می‌تواند دو عضو دلخواه از این آرایه را انتخاب کند تا استاد سرداد جای یکی از آن‌ها بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک بینشان، و جای دیگری کوچک‌ترین مضرب مشترک بینشان را بنویسد. هدف آن‌ها حدس بیشینه‌ی جمع کل اعداد آرایه بعد از تعداد دلخواهی عملیات با توجه آرایه‌ی اولیه است. سلتی پاسخ مسئله را نمی‌داند و با حدس‌های غلط خود سعی بر راضی کردن استاد سرداد دارد. از این‌رو از شما خواسته است که این مقدار را به ازای آرایه‌های ارائه شده محاسبه کنید.

تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 10256483$ محاسبه شده‌اند.

بخش اول (۱۴ نمره) : اگر پاسخ مسئله به ازای $n=10$ و آرایه‌ی اولیه‌ی $a_i=2i-1$ برابر با $x$ باشد، حاصل $x^3$ به پیمانه‌ی $\Delta$ را خروجی دهید.

بخش دوم (۱۶ نمره) : اگر پاسخ مسئله به ازای $n=40$ و آرایه‌ی اولیه‌ی $a_i=i$ برابر با $x$ باشد، حاصل $x^2$ به پیمانه‌ی $\Delta$ را خروجی دهید.

بخش سوم (۲۶ نمره) : اگر پاسخ مسئله به ازای $n=11^3=1331$ و $a=\{2^i\times3^j\times5^k\mid0\leq i,j,k\leq10\}$ برابر با $x$ باشد، حاصل $x^2+x+1$ به پیمانه‌ی $\Delta$ را خروجی دهید.

بخش چهارم (۴۴ نمره) : اگر پاسخ مسئله به ازای $n=10^{18}$ و $a_i=i$ برابر با $x$ باشد، حاصل $x$ به پیمانه‌ی $\Delta$ را خروجی دهید.