علی دایی ۲

علی دایی پس از یاد گرفتن علوم کامپیوتر، می‌خواهد از مفاهیم آن در مربی‌گری فوتبال استفاده کند.

او یک گراف جهت‌دار $n$ راسی دارد که راس‌های آن از $۱$ تا $n$ شماره‌گذاری شده‌اند. در آن راس $i$ به $j$ یال جهت‌دار دارد اگر و فقط اگر عدد $k>1$ وجود داشته باشد به طوری که

$$\left\lfloor\frac{i}{k}\right\rfloor=j.$$

علی دایی می‌خواهد تعدادی فوتبالیست انتخاب کند و به هرکدام یک مسیر جهت‌دار موجود در گراف را برای تمرین بدهد تا روی آن مسیر روپایی بزنند، و حتما هر یال این گراف توسط دقیقاً یک فوتبالیست پیموده شود.

$f(n)$ را برابر حداقل تعداد فوتبالیست‌های مورد نیاز جهت پوشاندن یال‌های این گراف می‌نامیم.

تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 10256483$ محاسبه شده‌اند.

$3$- الف ($33$ نمره) : باقی‌مانده مقدار $f(50)^3$ بر $\Delta$ را خروجی دهید.

$3$- ب ($33$ نمره) : باقی‌مانده مقدار $f(10000)^3$ بر $\Delta$ را خروجی دهید.

$3$- ج ($34$ نمره) : باقی‌مانده مقدار

$$\sum_{1\leq i\leq 1000000}f(i)$$

بر $\Delta$ را خروجی دهید.