ﻓﻮﺗﺒﺎل!

آیا می‌دونید تیم فوتبال ایران چطور تونست کره‌جنوبی رو در زمین این کشور شکست بده و به جام جهانی صعود کنه؟ کارلوس کی‌روش (سرمربی تیم) شب قبل از مسابقه، به‌وسیله دو تابع $f$ و $g$ شیوه بازی کره‌جنوبی رو آنالیز کرده بود!!! این توابع به صورت زیر تعریف می‌شوند:

$$f(x,y) = \begin{cases} x, & y=0
2f(x,\lfloor \frac{y}{2} \rfloor), & y > 0 , y = 2k
3f(x,\lfloor \frac{y}{2} \rfloor), & y > 0 , y = 2k+1 \end{cases}$$

$$g(n) = \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1}f(i,j)$$

تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 229939$ محاسبه شده‌اند.

$1$- الف ($7$ نمره) : اگر مقدار $g(\Delta + 3)$ را $M_1$ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیم $M_1$ بر $\Delta$ چند است؟

$1$- ب ($10$ نمره) : اگر مقدار $g(\Delta ^ 2 + 3)$ را $M_2$ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیم $M_2$ بر $\Delta$ چند است؟

$1$- ج ($13$ نمره) : اگر مقدار $g(2 ^ {10000})$ را $M_3$ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیم $M_3$ بر $\Delta$ چند است؟