ﺷﻨﮕﻮل در ﺷﺒﻪ ﮐﺪ ﻋﺠﯿﺐ!

ﺷﻨﮕﻮل در لپ‌تاپ آیدین تکه کد زیر را پیدا کرده‌است.

او می‌خواهد طوری مقادیر 1- را در سطرهای سوم و چهارم (تعریف آرایه‌های a و b) با اعداد سه رقمی (بزرگ‌تر از ۹۹ و کوچک‌تر از $1000$) جایگزین کند که در سطر یازدهم (سطر $cout$) رشته‌ی $hey!$ چاپ شود.

تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 229939$ محاسبه شده‌اند.

الف): اگر تعداد راه‌هایی که با مقداردهی تمامی 1-‌های موجود، خروجی مطلوب چاپ می‌شود را $A$ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیمِ $A$ بر $\Delta$ چند است؟

ب): فرض کنید سطر پنجم برابر باشد با $int \space k = 4;$ یعنی مقدار $k$ به‌جای 2 برابر با 4 نوشته شده باشد. در این صورت اگر تعداد راه‌هایی که با مقداردهی کلیه‌ی -1‌های موجود، خروجی مطلوب چاپ می‌شود را $B$ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیمِ $B$ بر $\Delta$ چند است؟

ج): فرض کنید سطر پنجم برابر باشد با $int \space k = 8;$ یعنی مقدار $k$ به‌جای 2 برابر با 8 نوشته شده باشد. در این صورت اگر تعداد راه‌هایی که با مقداردهی کلیه‌ی -1‌های موجود، خروجی مطلوب چاپ می‌شود را $C$ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیمِ $C$ بر $\Delta$ چند است؟