ﺷﻨﮕﻮل ﺑﺎ ﺻﺪای ﺑﻠﻨﺪ ﻣﯽﺧﻮاﻧﺪ «ﺣﺎﻻ ﯾﺎرم ﺑﯿﺎ!»!

ﺷﻨﮕﻮل در باب دوستی و مرام بین اعداد تعاریف جالبی دارد! در نظر او زوج مرتب $\langle a, b \rangle$ یک «زوج مرتبِ $k$-یار» است، اگر $a$ و $b$ دقیقاً $k$ تا مقسوم‌علیه مشترک داشته باشند. برای مثال زوج مرتب‌ $\langle 3, 9\rangle$، زوج مرتب $\langle 10, 14 \rangle$ و زوج مرتب $\langle 9, 3 \rangle$ سه سری زوج مرتب $2$-یار هستند. ﺷﻨﮕﻮل می‌گوید یک زوج‌مرتب $\langle a, b\rangle$ از $X$ کم‌تر است اگر هم $a<X$ و هم $b<X$ باشد.

تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 229939$ محاسبه شده‌اند.

الف(: اگر ﺷﻨﮕﻮل تعداد زوج‌مرتب‌های -$1$یارِ کوچک‌تر از $\Delta$ را $A$ بنامد، باقی‌مانده‌ی تقسیمِ $A^4$ بر $\Delta$ چند است؟

ب): اگر ﺷﻨﮕﻮل تعداد زوج‌مرتب‌های -$48$یارِ کوچک‌تر از $\Delta$ را $B$ بنامد، باقی‌مانده‌ی تقسیمِ $B^B$ بر $\Delta$ چند است؟

ج):ﺷﻨﮕﻮل مقدار $12299390$ را $M$ می‌نامد. باقی‌مانده‌ی تقسیمِ تعداد زوج‌مرتب‌های $48$-یارِ کوچک‌تر از $M$ بر $\Delta$ چند است؟