سوال ۱۳

یک بیماری داریم که فرآیند ارث‌بری آن به صورت زیر است:

• اگر دقیقاً یکی از پدر و مادر بیمار باشد، فرزند نیز بیمار می‌شود،
• وگرنه (اگر هر دو والد بیمار باشند یا هیچ‌کدام بیمار نباشند)، فرزند بیمار نمی‌شود.

۵ زوج (پدر و مادر) داریم که به آن‌ها نسل اول می‌گوییم. هر یک از زوج‌های نسل اول دارای یک فرزند دختر و یک فرزند پسر هستند که به این فرزندان، نسل دوم می‌‌گوییم. به صورت تصادفی، یک دختر و یک پسر از نسل دوم را که با هم خواهر و برادر نیستند، انتخاب کردیم تا با هم ازدواج کنند. این زوج صاحب فرزندی به نام «شاخ شمشاد» شدند. در فرآیند انتخابِ پدر و مادر شاخ شمشاد، احتمالِ انتخابِ همه‌ی زوج‌های ممکن از نسل دوم برابر بوده است. با این شرایط، به ازای چند حالت از $2^{10}$ حالتِ بیمار بودن یا نبودنِ هر یک از ۱۰ نفرِ نسل اول، احتمال بیمار بودن شاخ شمشاد بیش‌تر از $\frac{1}{2}$ می‌شود؟

1. ۵۱۲
2. ۱۲۰
3. ۱۰۲۲
4. ۳۲۰
5. ۶۴۰