سوال ۲۰

گزینه‌ی «۱» درست است.

با توجه به راهنمایی سوال می‌فهمیم که برای این‌که در هر ستونی حداقل یک ستاره باشد باید حداقل ۵ ستاره داشته باشیم از طرفی برای این‌که همه سطرها دو ستاره داشته باشند باید ۶ ستاره داشته باشیم پس یا ۵ ستاره داریم یا ۶ ستاره. پس این دو حالت را جدا می‌کنیم و با اصل جمع تعداد کل حالت هارا به‌دست می‌آوریم.

تعداد حالت‌ها با ۵ ستاره: ابتدا سطری را که قرار است در آن یک ستاره باشد را انتخاب می‌کنیم، سپس در آن یک ستاره می‌گذاریم و سپس در اولین سطر باقی‌مانده دو ستاره قرار می‌دهیم طوری که این دو ستاره با ستاره‌ی قبل هم ستون نشوند و در نهایت در تنها سطر باقی‌مانده نیز به طور یکتا باید دو ستاره را قرار دهیم. پس می‌شود:

$$\binom{3}{1}\times5\times\binom{4}{2}\times\binom{2}{2}$$

حال برای ۶ ستاره هم باید یکی از ستون‌ها دو ستاره‌ای شوند، پس ابتدا آن ستون را انتخاب می‌کنیم و در آن دو ستاره قرار می‌دهیم. سپس در سطری که ستاره‌ای ندارد دو ستاره قرار می‌دهیم و در در دو سطر باقی‌مانده هم در هر سطر یک ستاره دیگر قرار می‌دهیم. پس می‌شود:

$$\binom{5}{1}\times\binom{3}{2}\times\binom{4}{2}\times\binom{2}{1}\times\binom{1}{1}$$

پس در کل ۲۷۰ حالت می‌شود.