سوال ۱۳

به چند حالت می‌توان از یک مجموعه‌ی ۱۰ عضوی به‌ ترتیب سه زیرمجموعه‌ی $A_1$، $A_2$ و $A_3$ را انتخاب کرد به‌ طوری که $A_1\cap A_2\cap A_3 = \phi$؟ ($A_i$ها لزوماً متمایز نیستند.)

  1. $2^{10}$
  2. $2^{15}$
  3. $3^{10}$
  4. $2^{20}$
  5. $7^{10}$

پاسخ

گزینه (۵) درست است.

هر عضو از آن ۱۰ عضو ۷ انتخاب زیر را مستقل از اعضای دیگر می‌تواند داشته باشد:

  1. متعلق به هیچ یک از سه زیرمجموعه نباشد.
  2. فقط متعلق به $A_1$ باشد.
  3. فقط متعلق به $A_2$ باشد.
  4. فقط متعلق به $A_3$ باشد.
  5. به $A_1$ و $A_2$ متعلق بوده ولی به $A_3$ متعلق نباشد.
  6. به $A_1$ و $A_2$ متعلق بوده ولی به $A_2$ متعلق نباشد.
  7. به $A_2$ و $A_3$ متعلق بوده ولی به $A_1$ متعلق نباشد.

بنابراین طبق اصل ضرب تعداد حالات ممکن برابر $7^{10}$ می‌باشد.