هر سال بعد از برگزاری و تصحیح برگههای مرحلهی دوم، شاهد سیلی از اعتراضها هستیم. خیلی از دانشپژوهان ادعا میکنند جوابی که در برگه نوشتهاند کاملاً درست بوده و به اشتباه از آنها نمره کم شده است؛ در حالی که در نهایت معمولاً نمرهای به آنها تعلق نمیگیرد.
یکی از مهمترین علتهایی که باعث میشود از شما نمره کم شود، نحوهی نوشتن پاسخ است. خیلی وقتها شما ایدهی اصلی مسئله را پیدا کردهاید و در ذهن خودتان مسئله را حل کردهاید، اما چیزی که در ذهن شماست زمین تا آسمان با چیزی که روی کاغذ نوشتهاید تفاوت دارد!
با بررسی برگههای سالهای گذشته تصمیم گرفتیم در قالب این متن، مشکلات مختلفی را که در نوشتن اثباتها دیدهایم توضیح دهیم تا در نهایت بتوانیم به یک ادبیات مشترک برای نوشتن پاسخ برسیم. سعی کردهایم تمام نکات را روشن و همراه با مثال بیان کنیم؛ بااینحال هیچ متنی خالی از اشکال نیست و خوشحال میشویم اگر نقد یا نظری دارید، آن را با ما در میان بگذارید.
در ادامه، در هر بخش موضوعی مطرح شده و در پایان متن نیز توصیههایی آوردهایم که خواندنشان خالی از لطف نیست.
راهحل هر مسئله از مجموعهای از گزارهها تشکیل شده است که باید با ترتیب مشخصی بیان شوند. زمانی که فکر میکنید سؤال را حل کردهاید، لزوماً آمادهی نوشتن پاسخ نیستید. باید قبل از نوشتن، ترتیب قرار گرفتن گزارهها و روند منطقی بین آنها را مرور کنید.
استفاده از چرکنویس بهشدت توصیه میشود. شاید کمی از وقت شما را بگیرد، ولی مطمئن باشید همین زمان را باید هنگام نوشتن پاسخ صرف کنید تا اشکالات نوشتاری خود را برطرف کنید. بهتر است قبل از شروع نوشتن پاسخ نهایی، مسیر کلی اثبات را در چرکنویس مشخص کنید.
همچنین دقت کنید که داشتن ایدهی حل با داشتن یک اثبات کامل تفاوت دارد. ممکن است بدانید چرا یک حکم درست است، اما هنوز نتوانسته باشید این «چرا» را به زبانی دقیق و قابلفهم روی کاغذ بیان کنید.
معمولاً راهحل سؤال از چند قسمت مختلف تشکیل شده است که طراح نمرهی هر بخش را مشخص کرده است تا اگر قسمتی از راهحل شما اشتباه بود، نمرهی بقیهی بخشها را از دست ندهید. بنابراین مهم است که بتوانید بخشهای مختلف راهحل را از یکدیگر جدا کنید.
میتوانید قسمتهای مختلف را تحت عنوان لم بیان و اثبات کرده و در راهحل اصلی از آنها استفاده کنید.
بخشهایی که بیش از یک بار در حل مسئلهی اصلی از آنها استفاده میکنید نیز گزینهی خوبی برای تبدیل شدن به لم هستند. ولی حواستان باشد که هر لم را در کلیترین حالتی که قرار است از آن استفاده کنید بیان کنید.
در ضمن، جوگیر نشوید و همهچیز را با لم ننویسید! تعداد زیاد لمها در یک راهحل نیز میتواند باعث پیچیده و گیجکننده شدن آن شود.
خوب است هر لم نام مشخصی داشته باشد تا در ادامهی اثبات بتوانید با همان نام به آن رجوع کنید.
مصحح سطح معلومات مناسبی دارد و میتوانید از تعریفهای مرسوم مانند گراف، جایگشت، الگوریتمهای مختلف و … استفاده کنید؛ اما هیچگاه نباید روی قضیههایی که صرفاً تصور میکنید مصحح آنها را میداند، یا روی عمق استنتاج او حساب کنید. اثبات شما باید بهگونهای باشد که یک فرد منطقی با دانش کافی، با یک بار خواندن آن بتواند مسیر استدلال شما را دنبال کند.
اگر میخواهید سؤال را در چند حالت مختلف حل کنید، ابتدا دربارهی نحوهی تقسیمبندی حالتها توضیح دهید و سپس ویژگی هر حالت را پیش از بیان راهحل آن، بهشکل مشخصی بنویسید؛ مثلاً با اندازهی بزرگتر یا با زیرخط.
فرض کنید میخواهیم حکم یک مسئله را برای عددهای زوج و فرد بهصورت جداگانه اثبات کنیم:
حالت ۱. اگر n زوج باشد:\ توضیحات حالت اول . . .\ حالت ۲. اگر n فرد باشد:\ توضیحات حالت دوم . . .
دقت کنید که در تقسیمبندی حالتها باید مطمئن شوید تمام حالتهای ممکن را پوشش دادهاید و هیچ حالت مشترکی نیز ایجاد نکردهاید.
حالا وقت آن است که یک بار خودتان را جای مصحح بیچاره بگذارید و ببینید که او باید چگونه منظور شما را بفهمد.
میتوانید سؤالهایی مانند سؤالهای زیر را با خودتان مرور کنید تا اشکالات اثباتتان مشخص شود:
یادتان نرود که هر اشتباه یا نقصی در راهحل شما میتواند مساوی با کسر نمرهی آن بخش از جواب باشد. گاهی ارزش آن بخشها برابر با کل مسئله است که در این صورت ممکن است هیچ نمرهای به شما داده نشود. نحوهی ارزشگذاری هر بخش با توجه به سؤال تعیین میشود؛ ممکن است نوشتن یک حدس نمره داشته باشد یا در نظر نگرفتن یک حالت خاص از مسئله، کل نمره را از شما بگیرد.
زمانی مجاز به شروع نوشتن هستید که یک اثبات یکپارچه داشته باشید؛ یعنی زیرمسئلهها را مشخص کرده باشید و از درستی و کامل بودن آنها اطمینان داشته باشید.
بهتر است ابتدا روند کلی اثبات را برای مصحح بیان کنید تا بتواند راحتتر در طول اثبات شما را همراهی کند. در این چکیده، هر حکمی را که نیاز دارید بیان کنید و ایدهی اثبات هرکدام را نیز بهطور خلاصه ذکر کنید.
سؤال. میخواهیم اعداد ۱ تا $n$ را به ۳ دسته افراز کنیم که مجموع اعداد هر ۳ دسته با یکدیگر برابر باشند. به ازای چه $n$هایی این کار ممکن است؟
جواب. ابتدا ثابت میکنیم اگر باقیماندهی $n$ بر ۳ برابر با ۱ باشد، این کار ممکن نیست. برای سایر $n$ها روشی برای یافتن ۳ دسته ارائه میدهیم. این کار را با استفاده از استقرا انجام میدهیم و حکم را از $n$ به $n+3$ نتیجه خواهیم گرفت.
ادامهی راهحل . . .
این توضیح کوتاه به مصحح کمک میکند قبل از ورود به جزئیات، تصویری کلی از مسیر استدلال شما داشته باشد.
بهتر است پارامترهایی را که در راهحل زیاد از آنها استفاده میکنید، نامگذاری کنید تا هر بار مجبور نباشید توضیح طولانی آنها را تکرار کنید. خوب است نامگذاری پارامترها تا حد امکان به ویژگی آنها مربوط باشد.
در مورد تعریفها، قضیهها و سایر موجوداتی که اسمهای مشخصی دارند (مثل ماتریس، دور، درخت و …)، یا در صورت مسئله برای آنها نامی انتخاب شده است، همان نامها را استفاده کنید.
نامگذاری باید بهگونهای باشد که خواننده بتواند بهراحتی به خاطر بسپارد هر پارامتر نشاندهندهی چیست. استفاده از نامهای بیمعنی و مشابه مانند $a,b,c,d,e$ در اثباتهای طولانی، معمولاً خواندن راهحل را سختتر میکند.
«نشان میدهیم سن بزرگترین دوست هممدرسهای علی از سن کوچکترین دوست هممدرسهای علی حداکثر دو سال بیشتر است. اگر سن بزرگترین دوست هممدرسهای علی . . . آنگاه سن کوچکترین دوست هممدرسهای علی . . . سپس سن بزرگترین دوست هممدرسهای علی . . .»
«سن بزرگترین دوست هممدرسهای علی را با بزرگه و سن کوچکترین دوست هممدرسهای علی را با کوچیکه نمایش میدهیم. حال نشان میدهیم بزرگه از کوچیکه حداکثر دو سال بیشتر است. اگر بزرگه . . . آنگاه کوچیکه . . . سپس بزرگه . . .»
یک ضربالمثل چینی میگوید: «یک تصویر به هزار کلمه میارزد.»
بعضی از اطلاعات مسئله با شکل بسیار زیباتر و سادهتر بیان میشوند. همچنین شکل میتواند یک دید کلی به مصحح بدهد و به او در فهم درست اثبات کمک کند.
در صورتی که از شکل در روند اثبات استفاده میکنید، اطلاعات آن باید با متن همخوانی داشته باشد و نامگذاریها نیز یکسان باشند. بهتر است شکل را در کلیترین حالت ممکن بکشید و اطلاعاتی که آن را به حالت خاصی از مسئله محدود میکند، در شکل قرار ندهید.
مثلاً اگر فضای مسئله را با گراف مدل میکنیم، بهتر است بعد از کشیدن گراف، رأسهایی که در متن اثبات برایشان اسم انتخاب کردهایم، در شکل نیز نامگذاری شوند.
فراموش نکنید که برای چه چیزی شکل میکشید. شکل، اثبات نیست و فقط قرار است روند اثبات را راحتتر بیان کند. پس نباید باعث گیج شدن مصحح شود.
سعی کنید اندازهی شکلها با متن همخوانی داشته باشد و شکل را در کنار متن، و نه وسط آن، بکشید. مثلاً حواستان باشد توضیحات یک شکل در صفحهی دیگری نوشته نشود.
در شکلها میتوانید از فلش (برای توضیح یک حرکت)، خطچین و نقطهچین (برای وجود یا عدم وجود یک خط) و هاشور افقی و عمودی (برای تمایز بین چند ناحیه) نیز استفاده کنید.
شکلها باید به سادهترین و کلیترین حالت ممکن کشیده شوند و نباید اطلاعات بیاهمیت در آنها نمایش داده شود. مثلاً اگر سؤال دربارهی تعدادی خرگوش و روباه است، در شکل لازم نیست سعی کنید خرگوش و روباه بکشید! کافی است مثلاً بهجای خرگوش، مربع و بهجای روباه، مثلث بکشید و کنار شکل معنای هرکدام را بنویسید.
تأکید شکل باید روی اطلاعاتی باشد که به اثبات کمک میکند. مثلاً اگر در مثالمان حمله کردن یک روباه به یک خرگوش مهم است، میتوانیم آن را با یک خط بینشان نشان دهیم، نه بیشتر!
همچنین اگر شکل تنها برای توضیح ایدهی شماست و بخشی از استدلال رسمی محسوب نمیشود، این موضوع باید از متن مشخص باشد. هیچگاه از یک شکل خاص نتیجهی یک حکم کلی نگیرید.
کلمههایی مثل «فرمول بالا»، «شکل مربوطه»، «بر طبق لم»، «آن شکل» و … فقط باعث ایجاد ابهام میشوند که کدام شکل؟ کدام فرمول بالا؟ و … .
این مشکل نیز با شمارهگذاری یا نامگذاری شکلها، فرمولها، لمها و … بهسادگی رفع میشود. کافی است زیر عکس، کنار فرمول و قبل از لم، یک شماره یا نام مشخص قرار دهید و با استفاده از آن شماره یا نام در رابطه با شکل، فرمول یا لم صحبت کنید.
مثلاً: شکل (۱) یا فرمول (۳).
گاهی در طول اثبات، برداشتهای مختلفی از متن به وجود میآید. در این صورت، یک مثال میتواند ابهام ایجادشده را برطرف کند.
در نتیجه باید حواستان باشد مثال بهگونهای انتخاب شود که از میان برداشتهای مختلف، فقط منظور شما با مثال سازگار باشد. در ضمن، مثال باید با چیزی که نوشتهاید تطابق داشته باشد و سادهترین حالت ممکن انتخاب شود.
تأکید میکنیم که مثال جای اثبات را نمیگیرد و بررسی چند حالت خاص نمیتواند ثابت کند حکم مسئله درست است.
توصیف: موجوداتی را که از گیاهان تغذیه میکنند گیاهخوار و باقی موجودات را غیرگیاهخوار مینامیم.
مثال: گاو و گوسفند گیاهخوار هستند و زنبور (چون کل گیاه را نمیخورد) غیرگیاهخوار است.
توصیف: موجوداتی را که از گیاهان تغذیه میکنند و کل گیاه را میخورند گیاهخوار و باقی موجودات را غیرگیاهخوار مینامیم.
مثال: برای مثال، گاو و گوسفند گیاهخوار هستند و زنبور غیرگیاهخوار است.
گاهی در روند اثبات به حکمهایی میرسید که بسیار معروف هستند و همه درستی آنها را تأیید میکنند، یا قضیههایی هستند که اثباتشان در یک کتاب مرجع آمده است. در این صورت میتوانید با نوشتن صورت دقیق قضیه و توضیح کافی دربارهی منبع آن، از قضیه استفاده کنید.
در غیر این صورت، ممکن است قضیهی بیانشده مورد قبول قرار نگیرد. صرفاً نوشتن جملهای مانند «طبق قضیهی فلان» یا «واضح است که» جایگزین اثبات نمیشود، مگر آنکه قضیه دقیقاً مشخص و قابل استناد باشد.
همچنین اگر قضیهای را به شکل قویتر از چیزی که واقعاً میدانید بیان میکنید، باید برای همین حالت قویتر نیز دلیل داشته باشید.
در آخر میخواهیم به دو نکتهی بسیار مهم در اثباتها اشاره کنیم؛ اشکالهایی که دیگر صرفاً به نحوهی نوشتن مربوط نیستند، بلکه اساساً نشان میدهند مسئله را اشتباه حل کردهاید!
در یک سؤال ممکن است حالتهای مختلفی برای مسئله وجود داشته باشد. شما هم روشی را برای حل پیشنهاد میدهید و برای اثبات، روش خود را در یک حالت خاص از مسئله (که به قول خودتان بدترین حالت ممکن است) توضیح میدهید و بعد نتیجه میگیرید که در حالت کلی نیز اثبات درست است!
بررسی اینکه یک حالت واقعاً بدترین حالت ممکن است، کار سادهای نیست و خودش نیاز به اثبات دارد. شما نمیتوانید با تکیه بر این فرض، جواب خود را درست فرض کنید.
باید راهحل را در حالت کلی ارائه دهید و اثبات کنید که این راهحل برای تمام حالتهای ممکن مسئله درست است.
در بسیاری از برگههای پاسخ دیدهایم که بهجای حل مسئله در حالت کلی، نحوهی حل را برای یک مثال توضیح دادهاید و در انتها نیز چند نقطه گذاشتهاید که یعنی جواب به همین ترتیب بهدست میآید.
این کار ممکن است نهتنها بخشی، بلکه حتی تمام نمرهی آن سؤال را از شما بگیرد.
همانطور که بالاتر توضیح دادیم، مثال کمک بسیار خوبی برای فهمیدن راهحل است، ولی راهحل نیست! بنابراین، علاوه بر ارائهی مثال، باید روند راهحل را برای حالت کلی بنویسید و آن را اثبات کنید.