شتر، گاو و پلنگ در حال انجام بازی «شترگاوپلنگ» هستند. در این بازی، هر یک از بازیکنان، یک دایره‌ی مخصوص به خود دارد که روی آن دنباله‌ای از اعداد نوشته شده است. در دایره‌ی مربوط به شتر، اعداد ۱ الی ۴۹۷ (شامل عدد ۴۹۷) به صورت ساعت‌گرد نوشته شده‌اند. در دایره‌ی مربوط به گاو، اعداد دایره‌ی شتر با شروع از عدد یک، یکی در میان به صورت ساعت‌گرد نوشته شده‌اند. به همین ترتیب، در دایره‌ی مربوط به پلنگ، اعداد دایره‌ی گاو با شروع از عدد یک، یکی در میان به صورت ساعت‌گرد نوشته شده‌اند. درنتیجه در نهایت دنباله‌ی اعداد روی دایره‌ی شتر $1, 2, 3, \ldots, 496, 497$ ، دنباله‌ی اعداد روی دایره‌ی گاو $1, 3, 5, \ldots, 495, 497$ و دنباله‌ی اعداد روی دایره‌ی پلنگ $1, 5, 9, \ldots, 493, 497$ است.
در ابتدای بازی هر سه بازیکن روی عدد یک در دایره‌ی خودشان قرار می‌گیرند. سپس در هر مرحله ابتدا هر سه بازیکن عدد خانه‌ای را که رویش ایستاده‌اند، اعلام می‌کنند. سپس اگر عدد خانه‌ی پلنگ مقسوم‌علیه عدد خانه‌ی گاو، و عدد خانه‌ی گاو مقسوم‌علیه عدد خانه‌ی شتر باشد، هم‌زمان فریاد می‌زنند: «شنگول»! در نهایت، شتر و پلنگ به عدد بعدی در دایره‌شان در جهت ساعت‌گرد و گاو به عدد بعدی در دایره‌اش در جهت پاد‌ساعت‌گرد می‌روند.
برای مثال در مرحله‌ی اول، بازیکنان همه روی عدد یک هستند و بنابراین فریاد می‌زنند. در پایان این مرحله، شتر روی عدد ۲، گاو روی عدد ۴۹۵، و پلنگ روی عدد ۵ است.
حلزون که از تماشای بازی آن‌ها خسته شده بود، تصمیم گرفت به جای تماشای بازی، شماره‌ی مرحله‌ای را به دست آورد که فریاد «شنگول» برای $i$ امین بار شنیده می‌شود. این عدد را با $f(i)$ نشان می‌دهیم. حلزون با وجود تلاش بسیار موفق به حل این مسئله نشد و بنابراین از شما کمک خواسته است. به او کمک کنید و به سوالات زیر پاسخ دهید.
تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 229939$ محاسبه شده‌اند.
$4$- الف ($11$ نمره) : باقی‌مانده‌ی $(\sum_{i=1}^{10}f(i))^3$ (به توان سه توجه کنید) بر $\Delta$ چند است؟
پاسخ
84626
$4$- ب ($11$ نمره) : باقی‌مانده‌ی $\sum_{i=1}^{1000}f(i)$ بر $\Delta$ چند است؟
پاسخ
161091
$4$- ج ($11$ نمره) : باقی‌مانده‌ی $\sum_{i=1}^{10^{12}}f(i)$ بر $\Delta$ چند است؟
پاسخ
53352