بازی

با استقرا روی $n$ حکم را ثابت می کنیم. حکم برای $n=1$ درست است. اگر $n$ توانی از دو نباشد، نفر اول می تواند مقداری کمتر از نصف $n$ کم کند تا به یک توان دو برسد. و چون مقدار کم شده از مقدار مانده کمتر است، نفر دوم نمی تواند کل را یک جا بردارد و بنابراین می توانیم او را مانند نفر اول فرض کنیم و هر کار که کرد طبق استراتژی نفر دوم که طبق فرض استقرا وجود دارد بازی کنیم و ببریم.

اما اگر $n=2^k$ باشد، اگر نفر اول $2^{k-1}$ یا بیشتر بردارد که ما باقیمانده را برداشته و می بریم. اما در غیر این صورت ما استراتژی بردی که طبق فرض استقرا برای $2^{k-1}$ داشتیم را به کار می گیریم تا نفر اول کسی باشد که تعداد سنگ ها را از $2^{k-1}$ کمتر می کند. مسلما تا وقتی تعداد سنگ ها از $2^{k-1}$ بیشتر است نفر اول نمی تواند طی یک مرحله تعداد سنگ ها را به صفر برساند زیرا با حرکت اول او، تعداد مجاز برای برداشتن از $2^{k-1}$ کمتر شده است. پس روزی می رسد که نفر اول تعداد سنگ ها را از $2^{k-1}$ کمتر می کند. در این مرحله ما می توانیم فرض کنیم که از ابتدا تعداد سنگ ها $2^{k-1}$ بوده و نفر اول طی یک حرکت این وضعیت را به وجود آورده است. ( چون نفر اول بیشتر مساوی حالت مفروض ما سنگ برداشته، تعداد سنگ مجاز برای ما مشکلی ایجاد نمی کند ) حال ما استراتژی $2^{k-1}$ را دنبال می کنیم تا برنده بازی شویم.