سوال ۹
فرض کنید $ABC$ یک مثلّث متساوی‌الاضلاع باشد. مکمّل این مثلّث به شکل زیر ساخته می‌شود:
«یک رأس مثلّث را انتخاب می‌کنیم. برای مثال فرض کنید رأس $A$ انتخاب شود. $B$ و $C$ را نسبت به $A$ قرینه می‌کنیم تا نقاط $B'$ و $C'$ به دست آیند. مثلّث $AB'C'$ را مکمّل مثلّث $ABC$ می‌نامیم.»
توجه کنید یک مثلّث متساوی‌الاضلاع در صفحه دارای سه مکمّل است. حال یک مثلّث متساوی‌الاضلاع در صفحه در نظر بگیرید. هر ضلع آن را به $n$ بخش برابر تقسیم کنید و با کشیدن خطوط موازی با اضلاع، درون مثلّث را به
$n^2$
مثلّث متساوی‌الاضلاع کوچک‌تر تقسیم کنید. به مثلّث حاصل، یک
مثلّث مشبّک $n$ تایی
گفته می‌شود. برای مثال شکل زیر یک مثلّث مشبّک شش تایی است:
به هر کدام از $n^2$ مثلّث کوچک،
مثلثّک
می‌گوییم. گوییم مثلّثک $P$
با مثلّثک $Q$
ارتباط
دارد، اگر بتوانیم از $P$ شروع کرده، در هر مرحله به یک مثلّثک مکمّل برای مثلّثک فعلی برویم و در انتها به $Q$ برسیم. توجه کنید در حین این مسیر نباید از مثلّث اصلی خارج شویم و تنها می‌توانیم از مثلّثک‌ها استفاده کنیم.
یک مثلّث مشبّک ۳۰ تایی در نظر بگیرید. می‌خواهیم تعدادی مثلّثک انتخاب کنیم، طوری که هر مثلّثک دیگر با دست کم یکی از مثلّثک‌های انتخاب شده ارتباط داشته باشد. کمینه‌ی تعداد مثلّثک‌هایی که باید انتخاب کنیم، چیست؟
- ۴
- ۳
- ۵
- ۷
- ۶
پاسخ
گزینه (۴) درست است.
یک گراف در نظر می‌گیریم که هر مثلّثک یک رأس آن باشد و دو رأس را به هم وصل کنیم، اگر به هم ارتباط داشته باشند. پاسخ برابر تعداد مؤلّفه‌های گراف یا همان ۷ است (توجّه کنید سه مثلثّک گوشه در سه مؤلفه‌ی جداگانه و تک رأسی هستند).