Processing math: 100%

سوال ۴

به جایگشت p1,p2,...,pn از اعداد 1 تا n زیبا گوییم هرگاه به ازای هر 1in1 داشته باشیم: pipi+1+3. به ازای n=9، باقی‌مانده‌ی تقسیم تعداد جایگشت‌های زیبا بر 5 چند است؟

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4

پاسخ

گزینه (۲) درست است.

به ازای n=4 تمام 24 جایگشت ممکن زیبا هستند. حال به ازای n5 با استفاده از تناظر، از هر جایگشت زیبای n1 تایی، 4 جایگشت زیبا و متمایز n تایی می سازیم. کافی است تا عدد n را در جایگشت دلخواهی به طول n1 درج کنیم. عدد n میتواند در انتهای جایگشت مذکور و یا پیش از اعداد n1، n2 و یا n3 قرار داده شود پس 4 مکان برای درج آن داریم. از طرفی به ازای هر جایگشت دلخواه n1 تایی، با حذف n از دقیقا 4 جایگشت n تایی به آن جایگشت میرسیم. پس اگر f(n) را تعداد جایگشت های زیبای n تایی تعریف کنیم، داریم: f(4)=24 و برای n5 : f(n)=4f(n1)

پس f(9) برابر 24×45 است که به پیمانه 5 برابر 1 می‌شود.