به جایگشت p1,p2,...,pn از اعداد 1 تا n زیبا گوییم هرگاه به ازای هر 1≤i≤n−1 داشته باشیم: pi≤pi+1+3. به ازای n=9، باقیماندهی تقسیم تعداد جایگشتهای زیبا بر 5 چند است؟
پاسخ
گزینه (۲) درست است.
به ازای n=4 تمام 24 جایگشت ممکن زیبا هستند. حال به ازای n≥5 با استفاده از تناظر، از هر جایگشت زیبای n−1 تایی، 4 جایگشت زیبا و متمایز n تایی می سازیم. کافی است تا عدد n را در جایگشت دلخواهی به طول n−1 درج کنیم. عدد n میتواند در انتهای جایگشت مذکور و یا پیش از اعداد n−1، n−2 و یا n−3 قرار داده شود پس 4 مکان برای درج آن داریم. از طرفی به ازای هر جایگشت دلخواه n−1 تایی، با حذف n از دقیقا 4 جایگشت n تایی به آن جایگشت میرسیم. پس اگر f(n) را تعداد جایگشت های زیبای n تایی تعریف کنیم، داریم: f(4)=24 و برای n≥5 : f(n)=4f(n−1)
پس f(9) برابر 24×45 است که به پیمانه 5 برابر 1 میشود.