سوال ۳۰

یک هفت ضلعی محدب داریم و همه‌ی قطر‌های آن را رسم کرده‌ایم. می‌دانیم که هیچ قطری همرس نیستند مگر در رئوس. تعداد مثلث‌های تولید شده‌ای که دقیقا یک راس آن‌ها از رئوس هفت‌ضلعی است برابر است با:

  1. ۲۱
  2. ۱۰۵
  3. ۷۰
  4. ۱۴۰
  5. ۳۵

پاسخ

گزینه (۲) درست است.

قطرهای گذرنده٬ از راس $A$ را در نظر می‌گیریم. این قطرها بر روی قطرهای $GD،GC،BE،BF،BG$ و $CF$ به ترتیب ۲٬۳٬۲٬۳٬۴ و ۲ نقطه‌ی تلاقی ایجاد می‌کنند و در نتیجه تعداد مثلث‌های مورد نظر متناظر به راس $A$ برابر خواهد بود با:

$$\binom{4}{2}+\binom{3}{2}+\binom{2}{2}+\binom{3}{2}+\binom{2}{2}+\binom{2}{2}=15$$

پس تعداد کل مثلث‌های مورد نظر برابر با $7\times 15$ یعنی ۱۰۵ مثلث خواهد بود.