سوال ۱۸

گزینه (۳) درست است.

چهار نفری که در گوشه‌ها نشسته‌اند با ۲ نفر دست می‌دهند. تمام افرادی که در کناره‌ها نشسته‌اند (غیر از افراد گوشه‌ای) با ۳ نفر دست می‌دهند و بقیه‌ی افراد با ۴ نفر دست می‌دهند. پس:

$$\frac{4\times2+[(m-2)+(m-2)+(n-2)+(n-2)]\times3+(n-2)(m-2)\times4}{2}=148 \\ \Rightarrow 2mn-m-n=148 \Rightarrow (2n-1)(2m-1)=297$$

این معادله در مجموعه اعداد طبیعی سه دسته جواب دارد: $(5,17)،(2,50)$ و $(6,14)$.

چون مجموع دانش‌آموزان برابر با $mn$ می‌باشد پس مجموع دانش‌آموزان یکی از اعداد ۸۵٬۱۰۰ و ۸۴ می‌باشد با توجه به گزینه‌ّها٬ گزینه ۳ صحیح است.