سوال ۹

در ابتدا دو جعبه‌ی خالی به نام‌های $A$ و $B$ و چهار توپ با شماره‌های ۱ تا ۴ داریم. برای هر $i$ به ترتیب از ۱ تا ۴ در مرحله‌ی $i$ اُم توپ شماره $i$ را به احتمال $\frac{a+1}{i+1}$ در جعبه‌ی $A$ و به احتمال $\frac{b+1}{i+1}$ در جعبه‌ی $B$ می‌اندازیم که $a$ و $b$ به ترتیب تعداد توپ‌های جعبه‌های $A$ و $B$ قبل از انجام مرحله‌ی $i$ اُم هستند. احتمال این را بیابید که در انتها در هر جعبه دست کم یک توپ باشد.

$\frac{2}{5}$
$\frac{3}{5}$
$\frac{5}{6}$
$\frac{59}{60}$
$\frac{4}{5}$

پاسخ

گزینه‌ی ۲ درست است.

احتمال این که تمام توپ‌ها در جعبه‌ی $A$ بروند برابر $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ است. پس احتمال حالات نامطلوب برابر $2 \times \frac{1}{5}$ بوده و بنابراین پاسخ برابر $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ است.