سوال ۲۰

گزینه‌ی ۲ درست است.

برای محاسبه‌ی جواب کافیست به جای جمع زدن طول مسیرهای ممکن، برای هر خانه تعداد مسیرهایی که از آن می‌گذرند را محاسبه کنیم.

یک خانه را در نظر بگیرید. برای عبور از آن باید حتما از یک سطر با شماره‌ی بزرگ‌تر مساوی (یا کوچک‌تر مساوی) این خانه وارد ستون آن شویم و از یک سطر با شماره‌ی کوچک‌تر مساوی (یابزرگ‌تر مساوی) این خانه از ستون آن خارج شویم.

همچنین برای حرکت بین بقیه‌ی ستون‌ها محدودیتی وجود ندارد و درواقع برای رفتن از یک ستون به ستون بعدی ۵ انتخاب داریم.در نتیجه در هر صورت $5^4$ حالت برای حالات مختلف مسیر در بقیه‌ی ستون‌ها وجود دارد.

از بین 25 مسیر مختلفی که برای ورود و نهایتا خروج از این ستون وجود دارد، بسته به این که خانه‌ی مورد نظر در کدام سطر باشد تعداد مسیرهای گذرنده از آن متفاوت خواهد بود:

• اگر در سطر اول باشد: در ۹ حالت از این خانه می‌گذرد.
• اگر در سطر دوم باشد: در ۱۵ حالت از این خانه می‌گذرد.
• اگر در سطر سوم باشد: در ۱۷ حالت از این خانه می‌گذرد.
• اگر در سطر چهارم باشد: در ۱۵ حالت از این خانه می‌گذرد.
• اگر در سطر پنجم باشد: در ۹ حالت از این خانه می‌گذرد.

حالات مختلف مسیر در شکل زیر مشخص شده‌اند:

در نتیجه مجموع کل حالات برابر است با:

$$5^4×5×(9+15+17+15+9)=203125$$