سوال ۶

اعداد ۱ تا ۳۲ روی تخته نوشته شده اند. در هر مرحله می توانیم دو عدد ناصفر $a$ و $b$ را از روی تخته پاک کنیم و به جای آن ها اعداد $|a-b|$ و $|۳۲-a-b|$ را بنویسیم. با تکرار این مراحل حداکثر به چند عدد صفر می توانیم برسیم؟

  1. ۳۲
  2. ۳۰
  3. ۱۶
  4. ۳۱
  5. ۸

پاسخ

گزینه ی «۱» درست است.

در ﻣﺮﺣﻠﻪ اول ﻋﻤﻠﯿﺎت ﮔﻔﺘﻪ ﺷﺪه را روی اﻋﺪاد (٬٣١ ١) و (٬٣٠ ۲) و … اﻧﺠﺎم می‌دﻫﯿﻢ. ﺑﻌﺪ از اﯾﻦ ﺣﺮﮐﺖ، نیمی از اﻋﺪاد از ﺑﯿﻦ می‌روﻧﺪ و اﻋﺪاد زوج ﺑﺎقی میﻣﺎﻧﻨﺪ. ﻣﺠﺪداً ﻫﻤﯿﻦ ﮐﺎر را اﻧﺠﺎم می‌دﻫﯿﻢ ﺗﺎ اﻋﺪاد ﺑﻪ شکل $4k$ ﺑﺎقی ﺑﻤﺎﻧﻨﺪ. ﺑﻪ ﻫﻤﯿﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ اﻋﻤﺎل را اﻧﺠﺎم می‌دﻫﯿﻢ ﺗﺎ ﺑﻪ ﻋﺪد ١۶ ﺑﺮﺳﯿﻢ. ﻋﺪد ١۶ و ﻋﺪد ٣٢ ﮐﻪ در اﺑﺘﺪا ﮐﻨﺎر ﮔﺬاﺷﺘﻪ ﺷﺪه ﺑﻮد ﻫﻢ ﺑﺎ ٢ ﺣﺮﮐﺖ ﺑﻪ ﻋﺪد ٠ ﺗﺒﺪﯾﻞ میﺷﻮﻧﺪ.