برنامهی زیر را در نظر بگیرید:
میبینیم اگر مقدار ۱۲ را به عنوان ورودی $X$ بدهیم٬ خروجی برنامه برابر ۳ خواهد بود.
با توجه به توضیح بالا به چهار سوال زیر پاسخ دهید:
فرض میکنیم اگر عدد ورودی $X$ را در مبنای دو بنویسیم به صورت $X'$ (متشکل از ۰ و ۱) خواهد بود و اگر خروجی برنامه را در مبنای ۲ بنویسیم به صورت $Y'$ خواهد بود. $Y'$ همواره چه نسبتی با $X'$ دارد؟
پاسخ
گزینهی (۵) درست است.
این الگوریتم برای عدد $x$ آن را بگونهای به مبنای ۲ میبرد که رقم سمت راست پرارزشترین بیت باشد پس در واقع مقداری دودیی عدد را متقارن میکند.
اگر ورودی برنامه مقدار $X$ باشد٬ خروجی متناظر آن را $R(X)$ مینامیم؛ مثلا طبق آنچه گفته شد مقدار $R(۱۲)$ برابر ۳ است. مقدار $R(۴۴۴)$ کدام گزینه است؟
پاسخ
گزینهی (۵) درست است.
طبق۲۷: ۴۴۴در مبنای دو برابر با (۱۱۰۱۱۱۱۰۰) است که برعکس آن (۱۱۱۱۰۱۱) میشود که همان۱۲۳است.
عدد $A$ را زیبا مینامیم اگر $R(A)\gt A$ باشد. مثلا عدد ۱۱ یک عدد زیبا است چرا که $R(۱۱) = ۱۳$ و $۱۳\gt ۱۱$ است. اما عدد ۱۲ یا عدد ۷ زیبا نیستند. چند عضو از مجموعهی {٫۶۳…۱٫۲٫۳٫} زیبا هستند؟
پاسخ
گزینهی (۳) درست است.
ابتدا اعدادی که یکانشان صفر هست را حذف میکنیم. چرا که در طی این عملیات تعداد ارقام کمتری دارند و در نتیجه عدد نهایی کمتر از قبل خواهد شد.
در بین بقیهی اول، اعداد متقارن (عددی که $R(A)=A$) را حذف میکنیم. از باقی اعداد دقیقا نصفشان زیبا هستند چرا که دو به دو بایکدیگر جفت هستند و پس از اعمال تغییر به دیگری تبدیل میشوند.
اعداد فرد: ۳۲ تا
اعداد متقارن فرد: رقم یکان این اعداد یک هست. در نتیجه باتوجه به اینکه طول عدد، بین ۱ تا ۶ باشد به ترتیب ۱، ۱، ۲، ۲، ۴ و ۴تا عدد متقارن داریم. در نتیجه تعداد آنها ۱۴تاست.
پس طبق نکات گفته شده تعداد اعداد زیبا برابر است با $\frac{32-14}{2}=9$.
چند تا از اعداد بین $۲^{۱۲}$ تا $۲^{۱۳}$ (شامل خود این دو عدد) زیبا هستند؟
پاسخ
گزینهی (۲) درست است.
طبق نکاتی که در سوال ۲۹ گفته شد:
اعداد فرد: $2^{11}$.
اعداد متقارن فرد: چون رقم سیزدهم این اعداد یک است پس ۱۱ رقم دیگر باقی میماند که $2^6$ عدد بدست میآید (۵ رقم دیگر بصورت یکتا مشخص میشوند).
در نتیجه تعداد اعداد زیبا برابر است با:$\frac{2^{11}-2^6}{2}=992$.