سوال ۲۳

گزینه‎ی (2) درست است.

تعداد همه‌ی جفت‌بندی‌ها برابر است با: $\frac{\binom{8}{2} \binom{6}{2} \binom{4}{2} \binom{2}{2}}{4!}=105$

تعداد دفعاتی که هر طولِ مجاز برای خط‌چین‌ها، در کل جفت‌بندی‌ها تکرار شده‌اند را محاسبه می‌کنیم.

به ازای مشخص شدن طولِ یک پاره خطِ جفت‌کننده،$\frac{\binom{6}{2} \binom{4}{2} \binom{2}{2}}{3!}=15$ حالت برای کامل کردن جفت‌بندی وجود دارد.

می‌توان خط‌چین به طول 1 را به 7 حالت، به طول 2 را به 6 حالت و … به طول 7 را به 1 حالت رسم کرد (شکل زیر)

پس مجموع طول جفت‌بندی‌ها 1260 می‌شود که از رابطه‌ی زیر به دست می‌آید:

$(7\times1+6\times2+5\times3+4\times4+3\times5+2\times6+1\times7) \times \frac{\binom{6}{2} \binom{4}{2} \binom{2}{2}}{3!}=84\times15$

و میانگین آن برابر است با: $\frac{1260}{105}=12$