سوال ۲۳
در ابتدا یک مثلث متساوی‌الاضلاع داریم که طول اضلاعش برابر ۴ است (مانند شکل سمت چپ).
در هر مرحله می‌توانیم یک تکه از شکل باقی‌مانده که شروط زیر را دارد بِکَنیم و دور بریزیم.
• تکه باید یک مثلث متساوی‌الاضلاع باشد.
• اضلاع تکه باید روی خطوط کشیده شده در شکل باشد.
• با حذف کردن این تکه از شکل نباید هیچ سوراخی در آن ایجاد شود. (یعنی باید حدّاقل یکی از اضلاع تکّه‌ای که می‌خواهیم حذف کنیم، کاملاً مجاور ناحیه‌ی بیرونی باشد).
بدیهی است درصورتی که شکل باقی‌مانده یک مثلث متساوی‌الاضلاع باشد می‌توان در یک مرحله همه‌ی آن را دور ریخت. در شکل زیر یک مثال تا دو مرحله نشان داده شده است.
می‌خواهیم در $k$ مرحله کل شکل اوّلیه را دور بریزیم. این کار به ازای چند تا از مقادیر زیر به عنوانِ مقدارِ $k$، امکان‌پذیر است؟
۴
۵
۷
۱۰
۱۴
- ۱
- ۲
- ۳
- ۴
- ۵
پاسخ
گزینه‌ی (۳) درست است.
به ازای 4 و 7 و 10 می‌توان با انتخاب‌های زیر مثلث را پاک کرد:
4: چهار تا مثلث 4تایی.
7:سه تا مثلث 4تایی و 4 تا مثلث واحد.
10: دو تا مثلث 4 تایی و 8 تا مثلث واحد.
به طور کلی فقط اعداد زیر را می‌توان انتخاب کرد:
یک 9تایی و 7 تا یکی، چهار 4تایی، سه 4تایی و 4 تا یکی، دو 4تایی و 8 تا یکی، یک 4تایی و 12 تا یکی و 16 تا یکی.