سؤال ۱۱

گزینه (۳) درست است.

مضارب دو رقمی اعداد ۱۷ و ۲۳ به شکل زیر می‌باشند:

$$17:17,34,51,68,85$$

$$23:23,46,69,92$$

همان‌طور که مشخص است هیچ عدد دو رقمی که رقم دهگانش ۷ باشد وجود ندارد که مضرب ۱۷ یا ۲۳ باشد٬ بنابراین اگر در نوشتن عدد رقم ۷ به کار رود به بن‌بست خواهیم رسید. چون رقم ۷ استفاده نمی‌کنیم بنابراین رقم ۱ نیز نباید استفاده کرد زیرا تنها رقمی که می‌تواند بعد از ۱ بیاید تا عدد دو رقمی حاصل مضرب ۱۷ و یا ۲۳ باشد٬ رقم غیر مجاز ۷ می‌باشد. به همین دلیل مجاز به استفاده از ارقام ۵ و ۸ نیز نیستیم٬ در نتیجه ۱۳۸۰ رقم اول اعداد خواسته شده به شکل زیر می‌باشد که ارقام آن دوره تناوبی به طول ۵ دارد:

$$69234692346...469234$$

اما در نوشتن سه رقم آخر اگر به بن‌بست نیز برسیم اشکالی ندارد٬ زیرانوشتن عدد به اتمام می‌رسد. بنابراین سه رقم آخر عدد به یکی از دو شکل ۶۹۲ یا ۶۸۵ می‌باشد.