سوال ۱۰

گزینه (؟) درست است.

مثلث‌ها را مطابق شکل از ۱ تا ۱۶ نام‌گذاری می‌کنیم. در حالت اول که می‌خواهیم مجموع اعداد موجود در مثلث‌های مجاور هر مثلثی فرد باشد٬ چون تنها مثلث مجاور برای مثلث ۱ مثلث ۳ می‌باشد بنابراین علامت مثلث ۳ برابر «۱» می‌باشد. از طرف دیگر چون فقط دو خانه ۳ و ۶ مجاور خانه ۲ می‌باشد بنابراین علامت خانه ۶ برابر «۰» می‌شود. به همین ترتیب علامت خانه ۸ نیز «۰» می‌شود. علامت خانه ۱۳ برابر «۱» و علامت خانه‌های ۱۱ و ۱۵ برابر «۰» می‌شود که تناقض است.

در حالت دوم تمام مثلث‌های ۱۳٬۱۱٬۸٬۶٬۳ و ۱۵ علامت «۰» را به خود می‌پذیرند. هریک از دسته مثلث‌های سه‌گانه ۲٬۱ و ۴ نیز دسته مثلث‌های سه گانه ۱۴٬۹ و ۱۶ به‌طور مستقل از یک‌دیگر به چهار طریق «۰٬۰٬۰» یا «۱٬۱٬۰» یا «۰٬۱٬۱» و یا «۱٬۰٬۱» قابل علامت‌گذاری می‌باشند و بقیه مثلث‌ها وابسته به این‌ها به صورت منحصربه‌فرد پر می‌شوند٬ بنابراین طبق اصل ضرب جواب مورد نظر $4\times4$ می‌باشد.