تعداد زیادی کارت مقوایی $3\times 3$ که با خط‌های افقی و عمودی به مربع‌های $1\times 1$ تقسیم شده است، به همراه یک میز بزرگ در اختیار داریم. در هر «مرحله» می‌توانیم تعدادی کارت را هم‌زمان روی میز قراردهیم به‌نحوی‌که این دو شرط رعایت شوند:
اگر در ابتدا تنها یک کارت روی میز باشد، پس از ۴ مرحله حداکثر چند کارت روی میز خواهد بود؟
پاسخ
گزینه (۴) درست است.
در مرحله‌ی اول ٬۴ در مرحله دوم ٬۹ در مرحله‌ی سوم ۲۵ و در مرحله‌ی چهارم ۳۶ کارت می‌توان بر روی میز با شرایط مسئله قرار داد که در این صورت تعداد کل کارت‌ها برابر $1+4+9+25+36$؛ یعنی ۷۵ خواهد شد.
به راحتی می‌توانید بررسی کنید که تعداد کل کارت‌های روی میز پس از $n$ مرحله برابر عبارت زیر می‌باشد:
$$ \lfloor \frac{3}{3} \rfloor^2 + \lfloor \frac{7}{3} \rfloor^2 +\lfloor \frac{11}{3} \rfloor^2 +\lfloor \frac{15}{3} \rfloor^2 + \lfloor \frac{19}{3} \rfloor^2 +...+\lfloor \frac{4n+3}{3} \rfloor^2$$