سوال ۲۹

تعداد زیادی کارت مقوایی ‎$3\times 3$‎ که با خط‌های افقی و عمودی به مربع‌های ‎$1\times 1$‎ تقسیم شده است، به همراه یک میز بزرگ در اختیار داریم. در هر ‎«مرحله»‎ می‌توانیم تعدادی کارت را هم‌زمان روی میز قراردهیم به‌نحوی‌که این دو شرط رعایت شوند:

اگر در ابتدا تنها یک کارت روی میز باشد، پس از ‎۴‎ مرحله حداکثر چند کارت روی میز خواهد بود؟

  1. ۵۴
  2. ۵۵
  3. ۸۷
  4. ۷۵
  5. ۱۶۵

پاسخ

گزینه (۴) درست است.

در مرحله‌ی اول ٬۴ در مرحله دوم ٬۹ در مرحله‌ی سوم ۲۵ و در مرحله‌ی چهارم ۳۶ کارت می‌توان بر روی میز با شرایط مسئله قرار داد که در این صورت تعداد کل کارت‌ها برابر $1+4+9+25+36$؛ یعنی ۷۵ خواهد شد.

به راحتی می‌توانید بررسی کنید که تعداد کل کارت‌های روی میز پس از $n$ مرحله برابر عبارت زیر می‌باشد:

$$ \lfloor \frac{3}{3} \rfloor^2 + \lfloor \frac{7}{3} \rfloor^2 +\lfloor \frac{11}{3} \rfloor^2 +\lfloor \frac{15}{3} \rfloor^2 + \lfloor \frac{19}{3} \rfloor^2 +...+\lfloor \frac{4n+3}{3} \rfloor^2$$