====== سوالات ۱۷ و ۱۸ ======




در شهر یاخچی‌آباد، هر خانه به صورت یک نقطه است که یک خانواده در آن زندگی می‌کند‌. فاصله‌ی نزدیک‌ترین خانه به هر خانه را
**شعاع همسایگی**
آن خانه می‌نامند. فاصله‌ی دو خانه برابر است با طول پاره‌خط واصل نقاط متناظرشان.

هر خانواده تمامی خانواده‌هایی را که در شعاع همسایگی‌اش باشند،
**همسایه‌**ی
خود می‌داند. دو خانواده
**صمیمی**
هستند اگر هر یک دیگری را همسایه‌ی خود بداند. تعداد جفت خانواده‌های صمیمی در یک محله
**صمیمی**
آن محله محسوب می‌شود.

شهردار یاخچی‌آباد قصد دارد	 یک محله‌ی جدید با ۹۱~خانه تاسیس کند.




====== سوال ۱۷ ======



شهردار که می‌داند صمیمیت زیاد افراد می‌تواند برای قدرت او تهدید به حساب آید، می‌خواهد صمیمیت این محله کم‌ترین مقدار ممکن را داشته باشد. این مقدار چه‌قدر است؟


  - 1
  - 0
  - 45
  - 90
  - 2







<پاسخ>
گزینه (۱) درست است.


کمترین مقدار، ۱ است.
اگر بین تمام جفت خانواده‌ها، آن دو خانواده‌ای که به هم نزدیک‌تر هستند را در نظر بگیریم .آن دو خانواده ، قطعا با هم صمیمی هستند. پس جواب حداقل ۱ می‌باشد.
همچنین اگر خانواده‌ها را روی محور $x$ در نقاط  $1, 2, 4, 8, ... 2^{91}$ قرار دهیم، تنها دو خانواده‌ی اول صمیمی هستند. پس جواب دقیقا یک می‌باشد.

</پاسخ>



====== سوال ۱۸ ======



معاون شهردار در راستای راهبرد و برنامه‌ی سیاسی خویش، می‌خواهد نقشه‌ای پیشنهاد بدهد که صمیمیت این محله بیشترین مقدار ممکن را داشته باشد. اگر این مقدار $x$ باشد، چه تعداد از گزاره‌های زیر درست است؟


  * $x \ge 80$
  * $x \ge 160$
  * $x \ge 240$
  * $x \ge 320$





  - 3
  - 1
  - 2
  - 0
  - 4






<پاسخ>
گزینه (۱) درست است.

  * 91
  * 156
  * 179
  * 234
  * 240


می‌دانیم هر خانواده حداکثر می‌تواند با ۶ خانواده‌ صمیمی باشد. فرض کنید خانواده‌ای بیش از ۶ همسایه صمیمی داشته باشد و آن را $c$ می‌نامیم، یک دایره به مرکز این خانواده و با شعاع همسایگی رسم کنید. واضح است که بیش از ۶ نقطه روی این دایره است پس زاویه بین دو تا از این خانه ها کمتر از ۶۰ می‌باشد پس $c$ نمی‌تواند با این دو خانواده صمیمی باشد. بنابرین حداکثر $\frac{91 \times 6}{2} = 273$ جفت خانواده صمیمی وجود دارد (با گراف مسطح نیز می‌توان این قسمت را اثبات کرد).

در شکل زیر بین هر جفت خانواده صمیمی یک خط کشیده شده است و ۲۴۰ جفت خانواده صمیمی وجود دارد. پس می‌تواند گفت که ۳ تا از ۴ گزاره ذکر شده صحیح می‌باشد.



{{ :سوالات_المپیاد:مرحله_ی_دوم:دوره_ی_۳۰:untitled.png |}}



</پاسخ>





  * [[سوالات ۱۵ و ۱۶|سوال قبل]]
  * [[سوالات ۱۹ و ۲۰|سوال بعد]]