====== سوال ۳۴ ======

سه نفر با نام‌های مجید، علی، و محمد برای قرعه‌کشی بین خودشان
از روش زیر استفاده می‌کنند:

هر سه نفر به‌طور هم‌زمان عددی بین ‎۱‎ تا ‎۴‎ انتخاب می‌کنند. اگر باقی‌مانده‌ی
تقسیم مجموع این سه عدد بر ‎۳‎ مساوی ۱٬۰ یا ‎۲‎ باشد به ترتیب مجید،
علی و محمد برنده می‌شوند. 

آیا این قرعه‌کشی منصفانه است؟
(آیا احتمال برنده شدن هر سه نفر یکسان است؟)

<پاسخ>


مجموع سه عدد٬ یکی از اعداد ۴٬۳،...،۱۲ می‌باشد. تعداد کل حالات برابر با $4\times4\times4$ یعنی ۶۴ حالت می‌باشد. تعداد حالاتی که مجموع اعداد انتخابی ۱۱٬۱۰٬۹٬۸٬۷٬۶٬۵٬۴٬۳ و ۱۲ باشد به ترتیب برابر با ۳٬۶٬۱۰٬۱۲٬۱۲٬۱۰٬۶٬۳٬۱ و ۱ می‌باشد. به عنوان مثال مجموع سه عدد انتخابی وقتی برابر با ۱۰ خواهد شد که یک از سه نفر عدد ۲ و دو نفر دیگر عدد ۴ را انتخاب کنند و یا یکی از آن‌ها عدد ۴ و دو نفر دیگر عدد ۳ را انتخاب کنند که مجموعا ۶ حالت زیر می‌شود:

$$(2,4,4)-(4,2,4)-(4,4,2)-(4,3,3)-(3,4,3)-(3,3,4)$$
پس احتمال این‌که باقی‌مانده‌ی تقسیم مجموع سه عدد بر ۳ برابر با ۰ باشد عبارت است از احتمال این‌که مجموع سه عدد یکی از اعداد ۹٬۶٬۳ و ۱۲ باشد و آن احتمال برابر است با:

$$\frac{1}{64}+\frac{10}{64}+\frac{10}{64}+\frac{1}{64}=\frac{22}{64}$$

احتمال این‌که باقی‌مانده‌ی تقسیم مجموع سه عدد بر ۳ برابر با ۱ باشد عبارت است از احتمال این‌که مجموع سه عدد یکی از اعداد ۷٬۴ و ۱۰ باشد و آن برابر است با :

$$\frac{3}{64}+\frac{12}{64}+\frac{6}{64}=\frac{21}{64}$$

و بالاخره احتمال این‌که باقی‌مانده تقسیم مجموع عدد بر ۳ برابر با ۲ باشد عبارت است از احتمال این‌که مجموع سه عدد یکی از اعداد ۸٬۵ و ۱۱ باشد و آن برابر است با:

$$\frac{6}{64}+\frac{12}{64}+\frac{3}{64}=\frac{21}{64}$$


</پاسخ>
  * [[سوال ۳۵|سوال بعد]]
  * [[سوال ۳۳|سوال قبل]]