====== سوال ۱۱ ======

برای مقادیر صحیح ‎$x \ge 0$‎ و ‎$y \ge 0$‎،
تابع ‎$A(x‎, ‎y)$‎ را به این صورت تعریف می‌کنیم:

\[
‎\begin{eqnarray*}‎ ‎A(0‎, ‎y) & = & y‎ + ‎1 \\‎ ‎A(x‎ + ‎1‎, ‎0) & = & A(x‎, ‎1) \\‎ ‎A(x‎ + ‎1‎, ‎y‎ + ‎1) & = & A(x‎, ‎A(x‎ + ‎1‎, ‎y)) \end{eqnarray*}‎
\]

مقدار ‎$A(1‎, ‎y)$‎ برای کلیه‌ی مقادیر نامنفی ‎$y$‎ چه‌قدر است؟

  - ۲
  - $y‎ + ‎1$
  - $y‎ + ‎2$
  - $2y‎ + ‎3$
  - هیچ‌کدام

<پاسخ>
گزینه (۳) درست است.

$$A(1,y)=A(0+1,(y-1)+1)=A(0,A(1,y-1))=A(1,y-1)+1$$

در تساوی‌های فوق ابتدا از فرض سوم و سپس از فرض اول استفاده شده است. به استقرا ثابت می‌شود که:

$$A(1,y)=A(1,0)+y$$

و اما با توجه به فرض دوم مسئله٬ $A(1,0)$ به شکل زیر به‌دست می‌آید:

$$A(1,0)=A(0+1,0)=A(0,1)=1+1=2$$


پس:


$$A(1,y)=2+y$$

</پاسخ>
  * [[سوال ۱۲|سوال بعد]]
  * [[سوال ۱۰|سوال قبل]]