====== سوالات ۲۰ تا ۲۲ ======



**مثلثال** شکلی است که مرحله به مرحله تکمیل می‌شود. مثلثال در مرحله‌ی صفرم از یک مثلث متساوی الاضلاع بزرگ تشکیل شده است که به چهار مثلث متساوی الاضلاع کوچک تر و هم اندازه تقسیم شده‌است. به یک مثلث **کال** گوییم، اگر داخل آن کاملا́ خالی باشد. مثلثی را که دقیقاً شامل چهار مثلث کال باشد، **جوان** می‌گوییم. در هر مرحله تمام مثلث‌های جوان را در نظر می‌گیریم و عملیات زیر را بر روی هر کدام از آن ها انجام می‌دهیم:

چهار مثلث کال داخل را مثلث‌های بالا، وسط، پایین راست و پایین چپ می‌نامیم. دو تا از این چهار مثلث، به چهار مثلث کوچک‌تر تقسیم می‌شوند که انتخاب مثلث‌ها بستگی به باقی مانده‌ی شماره‌ی مرحله به سه دارد:

  * اگر باقی‌مانده برابر یک باشد، مثلث پایین راست و مثلث بالا را تقسیم می‌کنیم.
  * اگر باقی‌مانده برابر دو باشد، مثلث پایین چپ و مثلث بالا را تقسیم می‌کنیم.
  * اگر باقی‌مانده برابر صفر باشد، مثلث پایین راست و مثلث پایین چپ را تقسیم می‌کنیم.

سه مرحله‌ی اول در شکل زیر نشان داده‌ شده است:



{{ :سوالات_المپیاد:مرحله_ی_اول:دوره_ی_۳۰:screenshot_from_2022-06-23_23-50-33.png |}}
====== سوال ۲۰ ======



پس از مرحله ی $i$اُم، چند مثلث کال وجود دارد؟

  - $2^{i+2}$
  - $3 \times 2^{i+1} - 2$
  - $2^{i+1} + 2$
  - $3^{i+1} + 1$
  - $2 \times 3^{i+1} - 2$

<راهنمایی>

 حدس و استقرا

</راهنمایی>
====== سوال ۲۱ ======


به یک نقطه در صفحه **تیز** گوییم، اگر رأس دست کم یکی از مثلث های شکل باشد (نه لزوماً مثلث های کال).
پس از مرحله‌ی $i$اُم، تعداد نقاط تیز چند تاست؟

  - $3 \times 2^{i+1}$
  - $2 \times 3^{i+2} - 4$
  - $6^{i+1}$
  - $2 \times 3^{i+1}$
  - $2 + 3^{i+1}$

<راهنمایی>

 بررسی کنید هر تبدیل یک مثلث کال به جوان، چه تاثیری بر تعداد نقاط تیز میگذارد.

</راهنمایی>
====== سوال ۲۲ ======

به یک خط افقی در صفحه **مشغول** گوییم، اگر شامل حداقل یک نقطه‌ی تیز باشد. لزومی ندارد این خط در مثلثال
رسم شده باشد. پس از مرحله‌ی ۶اُم، تعداد خط‌های افقی مشغول در صفحه چیست؟

  - ۶۳
  - ۵۳
  - ۱۲۸
  - ۷۹
  - ۵۰

<راهنمایی>

 حدس و استقرا

</راهنمایی>

  * [[سوالات ۱۷ تا ۱۹|سوال قبل]]
  * [[سوالات ۲۳ تا ۲۵|سوال بعد]]