====== سوال ۱۷ ======


شکل زیر، یک جدول $5 \times 5$ با حذف چهار گوشه‌ی آن است. 
می‌خواهیم این شکل را به طور کامل با کاشی‌های
$1 \times 1$، $2 \times 2$ و 
$3 \times 3$
بپوشانیم، طوری که
کاشی‌ها روی هم قرار نگرفته و از جدول بیرون نزنند. نیازی نیست از هر سه نوع کاشی استفاده کنیم. حداقل تعداد کاشی‌ها برای انجام این کار چیست؟

{{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۲۸:untitled13.png |}}



  - ۹
  - ۱۰
  - ۱۱
  - ۱۲
  - ۱۳


<پاسخ>
 گزینه‌ی ۱ درست است.


روش پرکردن با  ۹ کاشی:





{{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۲۸:untitled14.png |}}



حال ثابت می‌کنیم با کم‌تر از ۹ کاشی امکان پر کردن جدول وجود ندارد. حداکثر یک کاشی $3 \times 3$ می‌توانیم داشته باشیم. اگر کاشی $3 \times 3$ نداشته باشیم، هر کاشی حداکثر یک خانه‌ی مشخص شده در شکل زیر را می‌پوشاند و دست کم به ۹ کاشی نیاز داریم:



{{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۲۸:untitled15.png |}}



اگر کاشی $3 \times 3$ داشته باشیم و این کاشی در وسط جدول باشد، بقیه‌ی جدول باید با کاشی‌های
$1 \times 1$ پر شوند که دست کم به ۱۳ کاشی نیاز داریم. اگر هم کاشی 
$3 \times 3$
داشته باشیم ولی در وسط جدول نباشد، شش خانه به طور یکتا با
$1 \times 1$
پر می‌شوند و یک جدول
$2 \times 3$
می‌ماند که خودش دست کم به سه کاشی نیاز دارد. پس این حالت نیز دست کم
$1+6+3=10$
می‌خواهد.


</پاسخ>

  * [[سوال ۱۶|سوال قبل]]
  * [[سوال ۱۸|سوال بعد]]