====== سوال ۷ ======


یک جدول
$2 \times 3$
داریم. دو خانه را
**مجاور**
گوییم، هر گاه یک ضلع مشترک داشته باشند. 
به چند طریق می‌توان اعداد ۱ تا ۶ را در خانه‌های این جدول نوشت، طوری که به ازای هر خانه یکی از دو حالت زیر رخ بدهد؟
  * عدد آن خانه از اعداد تمام خانه‌های مجاورش کوچک‌تر باشد.
  * عدد آن خانه از اعداد تمام خانه‌های مجاورش بزرگ‌تر باشد.

  - ۴۰
  - ۸۸
  - ۸۰
  - ۲۴
  - ۹۶
<راهنمایی>
دقت کنید در چینش نهایی، برخی خانه‌ها از تمام خانه‌های مجاور مقدار بیشتری دارند (آن‌ها را خانه‌های قرمز نامیده) و برخی از تمام خانه‌های مجاور مقدار کم‌تری دارند (آن‌ها را خانه‌های آبی می‌نامیم). چینش این خانه‌ها در جدول (مجزا از عددی که در آن‌ها قرار دارد) به چه صورت‌هایی می‌تواند باشد؟
</راهنمایی>
<راهنمایی>
در راستای راهنمایی پیشین، آیا ممکن است دو خانه‌ی مجاور قرمز (به تعریف راهنمایی قبل) یا دو خانه‌ی مجاور آبی داشته باشیم؟
</راهنمایی>
<راهنمایی>
در راستای راهنمایی پیشین، پس خانه‌های جدول به شکل شطرنجی‌ای می‌بایست قرمز و آبی شده باشند. خود این اتفاق چند حالت دارد؟
</راهنمایی>
<راهنمایی>
اعداد ۵ و ۶ می‌بایست قرمز باشند یا آبی؟ اعداد ۱ و ۲ چطور؟
</راهنمایی>
<راهنمایی>
اعداد ۳ و ۴ دو حالت برای رنگ شدن دارند. هر دو را بررسی کنید.
</راهنمایی>
<راهنمایی>
اگر ۴ در خانه‌ای قرمز قرار گیرد و ۳ در خانه‌ای آبی، آیا نحوه‌ی قرار گیری اعداد در خانه‌هایی وجود دارد که شرایط مسئله را رعایت نکند؟
</راهنمایی>
<راهنمایی>
برای حالتی که ۴ در خانه‌ای آبی و ۳ در خانه‌ای قرمز قرار گیرد، بر جایگاه عدد ۴ حالت بندی کنید.
</راهنمایی>
<پاسخ>
 گزینه‌ی ۲ درست است.


خانه‌ها را به شکل زیر رنگ‌آمیزی می‌کنیم:
{{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۲۷:7.png?200 |}}
یک عدد را
**قلدر**
 گوییم، اگر از مجاورهای‌ش بزرگ‌تر باشد؛ در غیر این صورت آن را
**نوچه**
گوییم. اعداد مجاور یک عدد قلدر، نوچه‌اند و بالعکس. پس اعداد قلدر در خانه‌های یک رنگ و اعداد نوچه در خانه‌های رنگ دیگر قرار می‌گیرند. انتخاب رنگ قلدرها دو حالت دارد. بدون از دست دادن کلّیت مسئله فرض کنید قلدرها در خانه‌های سیاه باشند.

از آن‌جایی که هر خانه، حداقل دو مجاور دارد، اعداد ۱ و ۲ نمی‌توانند قلدر باشند. حال دو حالت داریم:
  * عدد ۳ قلدر نباشد. در  این صورت اعداد ۴، ۵ و ۶ قلدر هستند. این اعداد به $3!$ حالت در خانه‌های سیاه قرار گرفته و اعداد دیگر نیز به $3!$ حالت در خانه‌های سفید قرار می‌گیرند.
  * عدد ۳ قلدر باشد.  در این صورت عدد ۳ نمی‌تواند در ستون وسط باشد، زیرا باید از سه عدد بزرگ‌تر باشد که امکان ندارد. پس جای عدد ۳ دو حالت دارد. اعداد ۱ و ۲ باید مجاور عدد ۳ باشند که به دو حالت، در دو خانه‌ی مجاور ۳ قرار می‌گیرند. حال عدد ۴ به طور یک‌تا در تنها خانه‌ی سفید باقی‌مانده قرار می‌گیرد (زیرا باید دست کم با یکی از اعداد ۵ و ۶ مجاور باشد و قلدر نیست). اعداد ۵ و ۶ به دو حالت در دو خانه‌ی باقی‌مانده قرار می‌گیرند.
پس در کل
$2 \times (6 \times 6 + 2 \times 2 \times 2) = 88$
حالت داریم.</پاسخ>

  * [[سوال ۶|سوال قبل]]
  * [[سوال ۸|سوال بعد]]