====== سوال ۲۰ ======


یک جدول $3 \times 3$ داریم. دو خانه را
**مجاور**
گوییم، هر گاه یک ضلع مشترک داشته باشند. می‌خواهیم در هر یک از خانه‌های جدول، یکی از اعداد
۱، ۲ و ۳
را بنویسیم، طوری که عدد هر خانه برابر با تعداد اعداد ۱ در خانه‌های مجاورش باشد. خانه‌ی مرکزی چه اعدادی می‌تواند داشته باشد؟

  - ۳
  - هر سه عدد
  - ۲
  - ۲ و ۳
  - هیچ یک از سه عدد نمی‌توانند در خانه‌ی وسط باشند

<راهنمایی>
آیا خانه‌ای از ۴ خانه‌ی گوشه‌ای جدول می‌تواند عدد ۳ به خود بگیرد؟
</راهنمایی>
<راهنمایی>
اگر یکی از ۴ خانه‌ی گوشه‌ای مقدار ۲ داشته باشد،‌ عدد کدام خانه‌ها به طور یکتا تعیین می‌شود؟
</راهنمایی>

<راهنمایی>
آیا می‌توان در دو گوشه‌ی مقابل عدد ۲ قرار داد؟
</راهنمایی>

<راهنمایی>
آیا می‌توان در دو گوشه‌ی مجاور عدد ۲ قرار داد؟
</راهنمایی>

<راهنمایی>
طبق راهنمایی‌های پیشین، حداکثر یک عدد ۲ در گوشه‌ها قرار دارد. هر دو حالت وجود داشتن یا نداشتن ۲ را بررسی کنید.
</راهنمایی>
<پاسخ>
 گزینه‌ی ۵ درست است.



خانه‌های گوشه تنها می‌توانند شامل اعداد ۱ و ۲ باشند. ادّعا می‌کنیم حداکثر یکی از گوشه‌ها می‌تواند شامل عدد ۲ باشد. فرض کنید در دست کم دو  گوشه،  عدد ۲ نوشته باشیم. دو حالت داریم:

  * دو گوشه‌ی واقع در یک ضلع با عدد ۲ داریم. تمام خانه‌های مجاور این دو عدد، باید شامل عدد ۱ باشند. پس چنین شکلی داریم: {{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۲۷:p20-1.png?200 |}} اکنون خانه‌ی وسط جدول بزرگ‌تر از ۱ است. در این صورت عدد ۱ مشخص شده با رنگ قرمز، عدد ۱ مجاور ندارد. تناقض حاصل ثابت می‌کند این حالت امکان ندارد.
  * دو گوشه‌ی واقع در یک قطر با عدد ۲ داریم. در این صورت نیز چنین شکلی داریم: {{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۲۷:p20-2.png?200 |}} اکنون عدد وسط جدول باید ۴ باشد که امکان ندارد.

پس جدولی با خواصّ گفته شده وجود ندارد.
</پاسخ>

  * [[سوال ۱۹|سوال قبل]]
  * [[سوال ۲۱|سوال بعد]]