====== سوال ۱۸ ======


در ابتدا یک مهره روی نقطه‌ی
‌$(0, 0)$
صفحه‌ی مختصات قرار داده شده است. در هر مرحله می‌توان یک مهره با مختصات
$(x, y)$
به همراه یک عدد طبیعی $n$ انتخاب کرده و پس از برداشتن مهره‌ی مذکور، در هر یک از نقطه‌های
$$(x, y+1), (x, y+2), \ldots, (x, y+n-1)$$
و هم‌چنین نقطه‌های
$$(x-1, y+n), (x+1, y+n)$$
یک مهره قرار داد. گام‌ها باید طوری انجام شود که در هر لحظه در هر نقطه حداکثر یک مهره باشد. برای مثال در گام نخست با انتخاب تنها مهره‌ی موجود و $n=3$، صفحه به شکل زیر در می‌آید:
{{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۲۷:p18-1.png?200 |}}

با انجام تعدادی مرحله، به کدام اشکال زیر می‌توان رسید؟ (محورهای مختصات کشیده نشده است. شکل در هر جایی از صفحه ایجاد شود، قابل قبول است).
{{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۲۷:p18-2.png |}}

  - شکل ۲
  - هیچ یک از شکل‌ها
  - هر سه شکل
  - شکل‌های ۱ و ۳
  - شکل ۱

<راهنمایی>
عمل مطرح شده را با 
$n=2$
انجام دهید. همین کار‌ را روی مهره‌های متفاوت حاصل انجام دهید تا برخی اشکال داده شده ساخته شوند.
</راهنمایی>

<راهنمایی>
شکل ۱ را با چهار بار تکرار عمل تعریف شده‌ی راهنمایی پیشین بسازید.
</راهنمایی>

<راهنمایی>
سعی کنید به خانه‌های صفحه‌ی مختصات وزن‌هایی نسبت دهید که با انجام یک عمل، مجموع وزن مهره‌های حاضر در جدول تغییری نکند.
</راهنمایی>

<راهنمایی>
دقت کنید که 
$2^k = 2^{k-1} + 2^{k-2} + ... + 2^{k-x} + 2^{k-x}$
</راهنمایی>

<راهنمایی>
به خانه‌های حاضر در عرض
$y$
وزن 
$2^{-y}$
نسبت دهید. امکان تشکیل دو شکل ۲ و ۳ را رد کنید.
</راهنمایی>

<پاسخ>
 گزینه‌ی ۵ درست است.



به هر نقطه از صفحه با مختصات $(x, y)$ عدد 
$2^{y}$
را نسبت می‌دهیم. با انجام هر گام، مجموع اعداد نقاط مهره‌دار تغییری نمی‌کند. در ابتدا این مقدار برابر ۱ است، پس در انتها نیز باید برابر ۱ باشد. در شکل‌های ۲ و ۳ مقدار گفته شده نمی‌تواند به صورت
$2^{t}$
باشد، پس رسیدن به این دو شکل امکان ندارد. با اعمال زیر می‌توان شکل ۱ را ساخت:
  - انتخاب مهره‌ی روی نقطه‌ی  $(0, 0)$ با $n=2$
  - انتخاب مهره‌ی روی نقطه‌ی $(0, 1)$ با $n=2$
  - انتخاب مهره‌ی روی نقطه‌ی $(0, 2)$ با $n=2$
  - انتخاب مهره‌ی روی نقطه‌ی $(0, 3)$ با $n=2$
</پاسخ>

  * [[سوال ۱۷|سوال قبل]]
  * [[سوال ۱۹|سوال بعد]]