====== سوال ۱۳ ======


شکل زیر را در نظر بگیرید:

{{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۲۷:13-1.png?200 |}}
 به چند طریق می‌توان سه خانه را قرمز، سه خانه را سبز، سه خانه را زرد و یک خانه را آبی کرد، طوری که هیچ دو خانه‌ی هم‌رنگی هم‌سطر یا هم‌ستون نباشند؟

  - ۱۶
  - ۱۲
  - ۶
  - ۳۰
  - ۲۴

<راهنمایی>
خانه‌ی به رنگ آبی در چه جایگاه‌هایی ممکن است قرار بگیرد؟
</راهنمایی>

<راهنمایی>
در راستای راهنمایی پیشین، دقت کنید که اگر خانه‌ی آبی در ستون راست نباشد، طبق اصل لانه کبوتری حداقل دو خانه‌ی همرنگ در آن ستون قرار خواهند گرفت.
</راهنمایی>
<راهنمایی>
در راستای راهنمایی پیشین،‌ به طور مشابه، خانه‌ی آبی در پایین‌ترین سطر قرار خواهد گرفت. پس جایگاهش به طور یکتا تعیین می‌شود.
</راهنمایی>

<راهنمایی>
بر روی باقی خانه‌های سطر پایین حالت‌بندی کنید. آیا تمام حالت‌های ممکن بدون در نظر گرفتن نام رنگ‌ها یکسان نیستند؟
</راهنمایی>

<پاسخ>
 گزینه‌ی ۵ درست است.



در سطر پایین و ستون راست، دقیقن یک خانه از هر کدام از رنگ‌ها  داریم. با توجه به این که دقیقن یک خانه‌ی آبی وجود دارد، پس خانه‌ی $A$ باید آبی باشد (در غیر این صورت دست کم دو خانه‌ی آبی جداگانه در سطر پایین و ستون راست خواهیم داشت).   رنگ سه خانه‌ی $B$، $C$
و
$D$
باید متفاوت باشد، پس $3!=6$
حالت دارد. بدون از دست دادن کلیت مسئله فرض کنید رنگ این سه خانه به ترتیب قرمز، سبز و زرد باشد. خانه‌ی
$E$
نمی‌تواند سبز باشد (زیرا یک خانه‌ی سبز هم‌ستون دارد). هم‌چنین اگر خانه‌ی $E$
قرمز باشد، هیچ خانه‌ی دیگری نمی‌تواند قرمز باشد. پس این حالت هم منتفی است، زیرا سه خانه‌ی قرمز باید داشته باشیم. پس $E$ حتمن زرد است. به استدلال مشابه $F$ باید قرمز باشد. دو قسمت  $1 \times 2$ در جدول باقی می‌ماند که هر کدام دو حالت برای رنگ‌آمیزی دارند، زیرا هر کدام یک خانه‌ی سبز دارند و با نشاندن خانه‌های سبز، رنگ بقیه‌ی خانه‌ها  به طور یک‌تا تعیین می‌شود. پس در کل
$$3! \times 2 \times 2 = 24$$
حالت داریم.
{{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۲۷:13-2.png?200 |}}

</پاسخ>

  * [[سوال ۱۲|سوال قبل]]
  * [[سوال ۱۴|سوال بعد]]