====== سوال ۵ ======

ما عادت کرده‌ایم وقتی عددی را می‌بینیم آن را به طور پیش‌فرض در مبنای ده تفسیر می‌کنیم. 
حال تصور کنید که استفاده از مبناهای ۲ تا ۱۰ به یک اندازه رایج است. 
در این حالت عدد ۱۲ را می‌توان به ۸ شکل مختلف (در مبناهای ۳ تا ۱۰) تفسیر کرد، 
اما عدد ۴۵۹ تنها به یک شکل قابل تفسیر است. 
تعداد اعداد از ۱ تا ۱۳۹۲ (در مبنای ده)  که تنها به یک شکل قابل تفسیراند، چند تا است؟
دقت کنید که اعداد تک‌رقمی تنها به یک شکل قابل تفسیر‌اند.

  - ۲۷۱
  - ۳۴۹
  - ۳۵۸
  - ۳۴۸
  - ۴۴۰


<راهنمایی>
با دانستن ارقام یک عدد، چگونه می‌توان فهمید که این عدد به چند شکل قابل تفسیر است؟
</راهنمایی>

<راهنمایی>
تعداد حالت‌های تفسیر یک عدد را با در نظر گرفتن بزرگترین رقم آن به دست آورید.
</راهنمایی>

<راهنمایی>
نشان دهید تعداد حالت‌های تفسیر یک عدد با حداقل دو رقم برابر یک است، اگر و تنها اگر حداقل یک بار رقم $9$ در آن ظاهر شده باشد.
</راهنمایی>

<راهنمایی>
روی یکی از موارد زیر حالت‌بندی کنید:
  * لیست‌های بدون ترتیب تعداد رقم‌های برابر با $9$ یک عدد
  * اولین رقم $9$ ظاهر شده در یک عدد از سمت کم‌ارزش‌ترین یا پرارزش‌ترین رقم
  * تعداد ارقام یک عدد
</راهنمایی>

<پاسخ>

گزینه‌ی ۴ درست است.

باید تعداد اعدادی که حداقل یک رقم ۹ دارند را به همراه اعداد یک رقمی حساب کنیم. حالت‌بندی می‌کنیم.

  * تعداد حالاتی که از ۱۳۹۰ کم‌تر نیستند: ۳
  * تعداد حالاتی که بین ۱۳۰۰ تا ۱۳۸۹ هستند: ۹
  * تعداد حالاتی که بین ۱۰۰۰ تا ۱۲۹۹ هستند: $300 - 3 \times 9 \times 9 = 57 $
  * تعداد حالاتی که بین ۱ تا ۹۹۹ هستند: $1000 - 9 \times 9 \times 9 + 8 = 279 $

که مجموع این چهار عدد جواب است.
</پاسخ>

  * [[سوال ۶|سوال بعد]]
  * [[سوال ۴|سوال قبل]]