======سوالات ۲۷ و ۲۸ و ۲۹ و ۳۰======

برنامه‌ی زیر را در نظر بگیرید:

  - عدد $X$ را از ورودی بگیر.
  - مقدار عدد $Y$ را برابر صفر قرار بده.
  - باقی‌مانده‌ی تقسیم عدد $X$ بر ۲ را $B$ بگیر.
  - مقدار $Y$ را برابر $2\times Y + B$ قرار بده. (مثلا اگر $Y$ مساوی ۵ و $B$ برابر ۱ است٬ مقدار $Y$ برابر ۱۱ خواهد شد).
  - مقدار $X$ را برابر خارج قسمت تقسیم خودش بر ۲ قرار بده. (مثلا اگر $X$ برابر ۱۳ بود٬ مقدار $X$ به ۶ تغییر خواهد یافت). 
  - اگر $X$ بزرگتر از صفر است٬ به مرحله ۳ برو. در غیر این صورت به مرحله ۷ برو. 
  - مقدار $Y$ را به عنوان خروجی برگردان.
  - پایان

می‌بینیم اگر مقدار ۱۲ را به عنوان ورودی $X$ بدهیم٬ خروجی برنامه برابر ۳ خواهد بود.





با توجه به توضیح بالا به چهار سوال زیر پاسخ دهید:

======سوال ۲۷======
فرض می‌کنیم اگر عدد ورودی $X$ را در مبنای دو بنویسیم به صورت $X'$ (متشکل از ۰ و ۱) خواهد بود و اگر خروجی برنامه را در مبنای ۲ بنویسیم به صورت $Y'$ خواهد بود. $Y'$ همواره چه نسبتی با $X'$ دارد؟

  - تعداد «یک»های رشته‌ی $X'$ است.
  - تعداد «صفر»های رشته‌ی $X'$ است.
  - زیررشته‌ای از $X'$ است با حذف تعدادی از ارقام مبنای دوی $X'$.
  - مقسوم‌علیه‌ای از $X'$ است.
  - برعکس شده (متقارن) $X'$ است با حذف صفرهای سمت چپ.

<پاسخ>
گزینه‌ی (۵) درست است.


این الگوریتم برای عدد $x$ آن را بگونه‌ای به مبنای ۲ می‌برد که رقم سمت راست پر‌ارزش‌ترین بیت باشد پس در واقع مقداری دودیی عدد را متقارن می‌کند.

</پاسخ>

======سوال ۲۸======

اگر ورودی برنامه مقدار $X$ باشد٬ خروجی متناظر آن را $R(X)$ می‌نامیم؛ مثلا طبق آنچه گفته شد مقدار $R(۱۲)$ برابر ۳ است. مقدار $R(۴۴۴)$ کدام گزینه است؟

  - ۱۱۱
  - ۵۵
  - ۵۹
  - ۵۷
  - ۱۲۳

<پاسخ>
گزینه‌ی (۵) درست است.


طبق۲۷: ۴۴۴در مبنای دو برابر با (۱۱۰۱۱۱۱۰۰) است که برعکس آن (۱۱۱۱۰۱۱) می‌شود که همان۱۲۳است.


</پاسخ>

======سوال ۲۹======
عدد $A$ را زیبا می‌نامیم اگر $R(A)\gt A$ باشد. مثلا عدد ۱۱ یک عدد زیبا است چرا که $R(۱۱) = ۱۳$ و $۱۳\gt ۱۱$ است. اما عدد ۱۲ یا عدد ۷ زیبا نیستند. چند عضو از مجموعه‌ی {٫۶۳...۱٫۲٫۳٫} زیبا هستند؟

  - ۵
  - ۱۲
  - ۹
  - ۸
  - ۱۳

<پاسخ>
گزینه‌ی (۳) درست است.


ابتدا اعدادی که یکانشان صفر هست را حذف می‌کنیم. چرا که در طی این عملیات تعداد ارقام کم‌تری دارند و در نتیجه عدد نهایی کم‌تر از قبل خواهد شد.


در بین بقیه‌ی اول، اعداد متقارن (عددی که $R(A)=A$) را حذف می‌کنیم. از باقی اعداد دقیقا نصفشان زیبا هستند چرا که دو به دو بایک‌دیگر جفت هستند و پس از اعمال تغییر به دیگری تبدیل می‌شوند.


اعداد فرد: ۳۲ تا


اعداد متقارن فرد: رقم یکان این اعداد یک هست. در نتیجه باتوجه به این‌که طول عدد، بین ۱ تا ۶ باشد به ترتیب ۱، ۱، ۲، ۲، ۴ و ۴تا عدد متقارن داریم. در نتیجه تعداد آن‌ها ۱۴تاست.


پس طبق نکات گفته شده تعداد اعداد زیبا برابر است با $\frac{32-14}{2}=9$.


</پاسخ>

======سوال ۳۰======

چند تا از اعداد بین $۲^{۱۲}$ تا $۲^{۱۳}$ (شامل خود این دو عدد) زیبا هستند؟

  - ۴۹۶
  - ۹۹۲
  - ۵۲۸
  - ۲۰۱۶
  - ۱۰۵۶


<پاسخ>
گزینه‌ی (۲) درست است.


طبق نکاتی که در سوال ۲۹ گفته شد:


اعداد فرد: $2^{11}$.


اعداد متقارن فرد: چون رقم سیزدهم این اعداد یک است پس ۱۱ رقم دیگر باقی می‌ماند که $2^6$ عدد بدست می‌آید (۵ رقم دیگر بصورت یکتا مشخص می‌شوند).


در نتیجه تعداد اعداد زیبا برابر است با:$\frac{2^{11}-2^6}{2}=992$.


</پاسخ>



  * [[سوالات ۲۴ و ۲۵ و ۲۶|سوال قبل]]