======سوال ۲۵======


{{:سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۲۰:r.png?nolink&200 |}}
همان‌طور که در شکل نشان داده شده است فردی در نقطه‌ی $A$ قرار دارد. او در هر حرکت به احتمال ۰.۵ یک واحد به سمت راست و به احتمال ۰.۵ یک واحد به سمت چپ می‌رود. احتمال اینکه بعد از ۷ حرکت فاصله‌ی او از نقطه‌ی $A$ بیش‌تر از ۳ باشد چقدر است؟

  - $\frac1{16}$
  - $\frac{14}{128}$
  - $\frac{58}{128}$
  - $\frac{1}{8}$
  - $\frac{56}{256}$
<پاسخ>

گزینه‌ی (۴) درست است.


برای اینکه فاصله‌اش از نقطه ‌$A$ بیش‌تر از ۳ واحد شود یا باید بیش‌تر از ۵ حرکت راست رفته باشد یا باید بیش‌تر از ۵ حرکت چپ رفته باشد. در واقع احتمال حالاتی را که ۶ یا ۷ یا صفر یا یک بار راست رفته را باید به‌دست آوریم تا احتمال کل را حساب کنیم.


احتمال صفر بار راست رفتن =$\frac{1}{128}$


احتمال یک بار راست رفتن =$\frac{1}{128}\times\binom{7}{1}$


احتمال شش بار راست رفتن =$\frac{1}{128}\times\binom{7}{6}$


احتمال هفت بار راست رفتن =$\frac{1}{128}$


که در مجموع برابر $\frac{16}{128}$ یا $\frac{1}{8}$ می باشد.

</پاسخ>
  * [[سوال ۲۴|سوال قبل]]