======سوال ۲۳======

۸ میله‌ی عمودی مطابق شکل سمت چپ به ترتیب روی زمین چیده شده‌اند٬ به طوری که فاصله‌ی هر میله از میله‌ی بعدی‌اش٬ برابر ۱ واحد می‌باشد. 

{{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۱۸:m.png?nolink |}}

یک «جفت‌بندی»٬ این ۸ میله را با ۴ خط‌چین افقی به ۴ جفت تقسیم می‌کند. در شکل سمت راست یکی از راه‌های جفت‌بندی نمایش داده شده است. «طول» یک جفت‌بندی٬ برابر مجموع طول ۴ خط‌چین استفاده شده برای آن جفت‌بندی است. برای مثال طول جفت‌بندی شکل سمت راست برابر با ۱۰ می‌باشد. اکنون اگر همه‌ی جفت‌بندی‌های ممکن برای این ۸ نقطه را در نظر بگیریم٬ میانگین طول این جفت‌بندی‌ها چه‌قدر است؟

  - ۸
  - ۱۲
  - ۷
  - ۱۶
  - ۱۴
<پاسخ>

گزینه‎ی (2) درست است.


تعداد همه‌ی جفت‌بندی‌ها برابر است با: $\frac{\binom{8}{2} \binom{6}{2} \binom{4}{2} \binom{2}{2}}{4!}=105$



تعداد دفعاتی که هر طولِ مجاز برای خط‌چین‌ها، در کل جفت‌بندی‌ها تکرار شده‌اند را محاسبه می‌کنیم.


به ازای مشخص شدن طولِ یک پاره خطِ جفت‌کننده،$\frac{\binom{6}{2} \binom{4}{2} \binom{2}{2}}{3!}=15$  حالت برای کامل کردن جفت‌بندی وجود دارد.


می‌توان خط‌چین به طول 1 را به 7 حالت، به طول 2 را به 6 حالت و ... به طول 7 را به 1 حالت رسم کرد (شکل زیر)


{{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۱۸:233333333333.png |}}






پس مجموع طول جفت‌بندی‌ها 1260 می‌شود که از رابطه‌ی زیر به دست می‌آید:


$(7\times1+6\times2+5\times3+4\times4+3\times5+2\times6+1\times7)  \times \frac{\binom{6}{2} \binom{4}{2} \binom{2}{2}}{3!}=84\times15$



و میانگین آن برابر است با: $\frac{1260}{105}=12$



</پاسخ>
  * [[سوال ۲۴|سوال بعد]]
  * [[سوال ۲۲|سوال قبل]]