====== سؤال ۱۲======

در خانه‌ی (۰,۰) جدول مختصات عدد ۱ را می‌نویسیم. فرض کنید در ابتدای هر مرحله در خانه‌ی $(x,y)$ عدد $i$ نوشته شده است. در آن مرحله $i$ را پاک می‌کنیم و یکی از چهار حرکت زیر را انجام می‌دهیم:

  * در خانه‌ی $(x+۱,y)$ عدد $۴i$ را می‌نویسیم،
  * در خانه‌ی $(x,y+۱)$ عدد $۴i+۱$ را می‌نویسیم،
  * در خانه‌ی $(x-۱,y)$ عدد $۴i+۲$ را می‌نویسیم، یا
  * در خانه‌ی $(x,y-۱)$ عدد $۴i+۳$ را می‌نویسیم.


پس از انجام چند مرحله متوجه می‌شویم در خانه (۱,۱) عدد $K$ نوشته شده است. $K$ کدام گزینه می‌تواند باشد؟

  - ۶۰۳۹
  - ۱۰۸۲
  - ۱۳۴۷
  - ۵۱۳۲
  - ۵۹۲۱
<پاسخ>
گزینه (۵) درست است.

حرکت به سمت‌های راست٬ چپ٬ بالا و پایین را به ترتیب $u،l،r$ و $d$ نمایش می‌دهیم. حال گزینه‌ها را یکی پس از دیگری امتحان کرده و جایگاه آن‌هارا مشخص می‌کنیم:


**1)** عدد ۶۰۳۹ به صورت $4k+3$ می‌باشد٬ بنابراین حرکت آخر $d$ بوده و عدد قبل از آن $\frac{6039-3}{4}$ یعنی ۱۵۰۹ می‌باشد. عدد ۱۵۰۹ به صورت $4k+1$ می‌باشد٬ بنابراین حرکت آخر $u$ بوده و عدد قبل از آن $\frac{1509-1}{4}$ یعنی ۳۷۷ می‌باشد. عدد ۳۷۷ به صورت $4k+1$ می‌باشد. بنابراین حرکت آخر $u$ بوده و عدد قبل از آن $\frac{377-1}{4}$ یعنی ۹۴ می‌باشد. عدد ۹۴ به صورت $4k+2$ می‌باشد٬ بنابراین حرکت آخر $l$ بوده و عدد قبل از آن $\frac{94-2}{4}$  یعنی ۲۳ می‌باشد. عدد ۲۳ به صورت $4k+3$ می‌باشد٬ بنابراین حرکت آخر $d$ بوده و عدد قبل از آن $\frac{23-3}{4}$ یعنی ۵ می‌باشد. عدد ۵ به صورت $4k+1$ می‌باشد٬ بنابراین حرکت آخر $u$ بوده و عدد قبل از آن ۱ می‌باشد.


باتوجه به توضیحات فوق معلوم می‌شود که عدد ۶۰۳۹ بعد از دنباله $udluud$ نوشته می‌شود که جایگاه آن باتوجه به شکل زیر در نقطه (۱-،۱-) خواهد بود:

{{ :سوالات_المپیاد:مرحله‌ی_اول:دوره‌ی_۱۳:1213.png |}}


**2)** 
<WRAP :en>

$1082=4k+2  \Longrightarrow k=270 , move=l$


$270=4k+2  \Longrightarrow k=67  , move=l$


$67=4k+3  \Longrightarrow k=16  , move=d$


$16=4k   \Longrightarrow  k=4   , move=r$


$4=4k   \Longrightarrow  k=1 , move=r$

</WRAP>
عدد ۱۰۸۲ بعد از دنباله $rrdll$ نوشته می‌شود که جایگاه آن نقطه (۱-,۰) می‌باشد.


**3)** 
<WRAP :en>

$1347=4k+3  \Longrightarrow  k=336  , move=d$


$336=4k   \Longrightarrow  k=84   ,   move=r$


$84=4k   \Longrightarrow  k=21   ,    move=r$


$21=4k+1  \Longrightarrow  k=5   ,   move=u$


$5=4k+1   \Longrightarrow   k=1 ,    move=u$

</WRAP>
عدد ۱۳۴۷ بعد از دنباله $uurrd$  نوشته می‌شود که جایگاه آن نقطه (۲,۱) می‌باشد.


**4)** 

<WRAP :en>
$5132=4k  \Longrightarrow  k=1283  , move=r$


$1283=4k+3  \Longrightarrow  k=320  ,   move=d$


$320=4k  \Longrightarrow  k=80  ,   move=r$


$80=4k  \Longrightarrow  k=20   ,   move=r$


$20=4k   \Longrightarrow  k=5   ,  move=r$


$5=4k+1  \Longrightarrow  k=1   ,   move=u$
</WRAP>

عدد ۵۱۳۲ بعد از دنباله $urrrdr$ نوشته می‌شود که جایگاه آن نقطه (۴,۰) می‌باشد.


**5)**
<WRAP :en>

$5921=4k+1  \Longrightarrow  k=1480  , move=u$


$1480=4k   \Longrightarrow   k=370  ,  move=r$


$370=4k+2  \Longrightarrow   k=92 , move=l$


$92=4k   \Longrightarrow  k=23   ,  move=r$


$23=4k+3   \Longrightarrow  k=5   ,  move=d$


$5=4k+1   \Longrightarrow  k=1  ,  move=u$

</WRAP>
عدد ۵۹۲۱ از دنباله $udrlru$ نوشته می‌شود که جایگاه آن نقطه (۱,۱) می‌باشد.




</پاسخ>
  * [[سوال ۱۳|سوال بعد]]
  * [[سوال ۱۱|سوال قبل]]