====== سیگما ======

گاهی به عباراتی مانند $1 + 2 + ... + 100$ می‌رسیم که به صورت جمع تعدادی زیادی جمله‌ی مربوط به هم است. در ریاضیات نمادی به نام **سیگما** ($\sum$) برای ساده‌نویسی چنین عباراتی وجود دارد. در این صفحه با این نماد آشنا می‌شوید.

----

===== تعریف =====

فرض کنید دنباله‌ای به صورت
$a_1, a_2, ..., a_n$
داریم. مجموع اعضای این دنباله ($a_1 + a_2 + ... + a_n$) را در نظر بگیرید. این جمع را می‌توان با نماد $\sum$ به صور زیر، ساده‌نویسی کرد:
$$a_1 + a_2 + ... + a_n = \sum_{i=1}^{n}a_i$$

هم‌چنین اگر بخواهیم مجموع اعضای دنباله از عضو $s$-ام تا عضو $t$-ام ($a_s + a_{s+1} + ... + a_t$) را ساده‌نویسی کنیم، به صورت زیر از نماد $\sum$ استفاده می‌کنیم:
$$a_s + a_{s+1} + ... + a_t = \sum_{i=s}^{t}a_i$$

در ساده‌نویسی‌های بالا، $i$، متغیر سیگماست. متغیر سیگما می‌تواند حروف دیگر نیز باشد. حتی می‌توانیم چند متغیر سیگما داشته باشیم که در ادامه خواهید دید.

در ساده‌نویسی‌های بالا، به ازای $i$-های مختلف، مجموع تعدادی از جمله‌های دنباله را ساده‌نویسی کرده‌ایم. حدود $i$ نیز در بالا و پایین سیگما مشخص می‌شود. ساده‌نویسی‌های بالا، مرسوم‌ترین روش‌های ساده‌نویسی با نماد $\sum$ هستند که در آن، حدود $i$ از یک عدد (در پایین سیگما) تا یک عدد دیگر (در بالای سیگما) است. 
[[آموزش:ترکیبیات:سیگما#روش‌های_دیگر_ساده‌نویسی_با_سیگما|روش‌های زیاد دیگری نیز برای ساده‌نویسی با سیگما]]
وجود دارد که در ادامه خواهید دید.

**مثال**:
عبارات زیر را با سیگما ساده‌نویسی کنید:
  - $$1+2+...+100$$
  - $$f(1)+f(3)+...+f(2n-1)$$
  - $$a_1 + 2a_2 + ... + na_n$$
  - $$2+4+...+2n$$
  - $$1+4+...+10000$$
  - $$1 \times 1! + 2 \times 2! + ... + n \times n!$$
  - $$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-...+\frac{1}{99}$$

<پاسخ>
  - $$\sum_{r=1}^{100}r$$
  - $$\sum_{i=1}^{n}f(2i-1)$$
  - $$\sum_{k=1}^{n}ka_k$$
  - $$\sum_{i=1}^{n}2i$$
  - $$\sum_{i=1}^{100}i^2$$
  - $$\sum_{i=1}^{n}i \times i!$$
  - $$\sum_{i=1}^{50}(-1)^{i+1}\frac{1}{2i-1}$$
</پاسخ>
----

‌===== روش‌های دیگر ساده‌نویسی با سیگما =====

تمام ساده‌نویسی با $\sum$، به صورتی که گفته شد، نیست. روش‌های دیگری نیز وجود دارد. در زیر، برخی از آن‌ها را می‌بینید:

  * گاهی نیازی نیست حدود متغیر سیگما را مشخص کنیم؛ یعنی پایین و بالای $\sum$ چیزی نمی‌نویسیم. این به معنای آن است که به ازای تمام حالت‌های متغیر سیگما، عبارت جلوی سیگما را حساب کرده و جمع می‌کنیم. برای مثال، اگر دنباله‌ای مانند $a_1, a_2, ..., a_n$ داشته باشیم، عبارت $$\sum a_i$$ به معنای جمع تمام اعضای دنباله است.
  * گاهی حدود متغیر را به روشی دیگر، مشخص می‌کنیم. برای مثال، برای ساده‌سازی عبارت $f(0) + f(1) + ... + f(100)$ می‌توان از عبارت $$\sum_{0 \le k \le 100} f(k)$$ استفاده کرد. به عنوان مثالی دیگر، عبارت زیر به معنای آن است که به ازای تمام عضوهای مجموعه‌ی $S$ مانند $x$، مقدار $2^x$ را حساب می‌کنیم و این مقادیر را با هم جمع می‌کنیم: $$\sum_{x \in S} 2^x$$
  * گاهی چند متغیر سیگما داریم. برای مثال، برای ساده‌سازی عبارت $$1 \times 1 + 1 \times 2 + ... + 1 \times 10 + 2 \times 1 + 2 \times 2 + ... + 2 \times 10 + ... + 10 \times 1 + 10 \times 2 + ... + 10 \times 10$$ می‌توان از عبارت $$\sum_{1 \le x, y \le 10} x \times y$$ استفاده کرد.
  * می‌توان سیگماهای تو در تو استفاده کرد. مثلن عبارت $$1 \times 1 + 1 \times 2 + ... + 1 \times 10 + 2 \times 1 + 2 \times 2 + ... + 2 \times 10 + ... + 10 \times 1 + 10 \times 2 + ... + 10 \times 10$$ را می‌توان با عبارت $$\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{10}i \times j$$ ساده‌سازی کرد. عبارت ساده‌شده‌ی بالا به آن معناست که به ازای هر $i$ از ۱ تا ۱۰، عبارت $\sum_{j=1}^{10}i\times j$ حساب شود و این مقادیر با هم جمع شوند.


----

===== خواص سیگما =====

سیگما، خواصی دارد که برخی از آن‌ها در زیر آمده است. توجه کنید که نیازی نیست این خواص را حفظ کنید؛ زیرا اکثر این خواص بدیهی هستند و هنگام ساده‌نویسی و کار با سیگما، به راحتی به ذهن می‌رسند. این خواص صرفن جهت آشنایی در زیر نوشته شده‌اند:
  * از آن جایی که $$f(s) + f(s+1) + ... + f(b) \ \ + \ \ f(b+1)+f(b+2)+...+f(t)=f(s)+f(s+1)+...+f(t)$$ پس $$\sum_{i=s}^{b}f(i) + \sum_{i=b+1}^{t}f(i)=\sum_{i=s}^{t}f(i)$$
  * فرض کنید $c$، یک عدد ثابت باشد. از آن‌جایی که $$c \times f(s) + c \times f(s + 1) + ... + c \times f(t) = c \times \big(f(s) + f(s+1) + ... + f(t) \big)$$ پس $$\sum_{i=s}^{t}c \times f(i) = c \sum_{i=s}^{t} f(i)$$ در واقع می‌توان ضریب ثابت را از سیگما بیرون کشید.
  * فرض کنید $c$، یک عدد ثابت باشد. از آن‌جایی که $$\big(f(s) + c\big) + \big(f(s+1)+c\big) + ... + \big(f(t)+c\big)$$ پس $$\sum_{i=s}^{t}\big(f(i)+c\big) = (t - s + 1) \times c + \sum_{i=s}^{t}f(i)$$ در واقع به روش بالا می‌توان جمع‌وند ثابت را از سیگما بیرون کشید.
  * از آن جایی که $$f(s)+f(s+1)+...+f(t)\ \ + \ \ g(s)+g(s+1)+...+g(t)= \big(f(s)+g(s)\big) + \big(f(s+1)+g(s+1)\big) + ... + \big(f(t)+g(t)\big)$$ پس  $$\sum_{i=s}^{t}f(i) + \sum_{i=s}^{t}g(i)=\sum_{i=s}^{t}\big(f(i)+g(i)\big)$$ در واقع گاهی به روش بالا می‌توان دو سیگما را ادغام کرد.
  * از آن‌ جایی که $$f(s+1) - f(s) + f(s+2) - f(s+1) + ... + f(t+1) - f(t) = f(t+1) - f(s)$$ پس $$\sum_{i=s}^{t}\big(f(i+1)-f(i)\big) = f(t+1)-f(s)$$ به این قاعده، **قاعده‌ی ادغام** می‌گویند.
  * می‌توان متغیر سیگما را مقداری انتقال داد. در واقع: $$\sum_{i=s}^{t}f(i)=\sum_{i=s+p}^{t+p}f(i-p)$$
  * در سیگماهای تو در تو، گاهی می‌توان جای دو سیگما را عوض کرد. در واقع: $$\sum_{x}\sum_{y}a_{x,y}=\sum_{y}\sum_{x}a_{x, y}$$

----

===== مجموع‌های نامتناهی =====

در تمام مثال‌ها و روش‌های ذکر شده، سیگما را برای ساده‌سازی تعداد متناهی جمله به کار بردیم. گاهی می‌توان سیگما را برای ساده‌سازی تعداد نامتناهی جمله نیز به کار برد.

فرض کنید دنباله‌ای مانند
$a_1, a_2, ...$
داریم. عبارت $a_1 + a_2 + ...$ را می‌توان با
$$\sum_{i=1}^{\infty}a_i$$
ساده‌نویسی کرد. همانند مجموع‌های متناهی، روش‌های ساده‌نویسی با سیگما و خواص سیگما را می‌توان برای مجموع‌های نامتناهی نیز به کار برد.

**مثال**:
عبارات زیر را با سیگما ساده‌نویسی کنید:
  - $$\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - ...$$
  - $$...+a_{-2}x^{-2}+a_{-1}x^{-1}+a_0x^0 + a_1x^1 + a_2x^2 + ...$$

<پاسخ>
  - $$\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^{i}\frac{1}{2^i}$$
  - $$\sum_{i=-\infty}^{\infty}a_ix^i$$
</پاسخ>

----


===== چند مثال =====

**مثال**:
ثابت کنید:
$$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+1)}=1 - \frac{1}{n+1}$$

<راهنمایی>
ابتدا ثابت کنید:
$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$
</راهنمایی>
<پاسخ>
ابتدا ثابت می‌کنیم:
$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$
داریم:
$$\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \frac{k+1-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k(k+1)}$$
حال حکم اصلی را با استفاده از قاعده‌ی ادغام، ثابت می‌کنیم:
$$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+1)}$$
$$=\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1})$$
$$=1 - \frac{1}{n+1}$$
</پاسخ>

**مثال**:
عدد طبیعی $n$ را در نظر بگیرید. به ازای هر مقسوم‌علیه $n$ مانند $d$ مقدار $d!$ را حساب کرده و این فاکتوریل‌ها را با هم جمع می‌کنیم. به عدد حاصل، $f(n)$ می‌گوییم. برای مثال،
$$f(4)=1!+2!+4!=27$$
مقدار $f(n)$ را با سیگما نشان دهید.

<راهنمایی>
برای تعیین حدود متغیر سیگما، از نماد شمردن یا عاد کردن (|) استفاده کنید. هر گاه، $a$ یک مقسوم‌علیه از $b$ باشد، گوییم $a$، $b$ را عاد می‌کند و با $a|b$ نشان می‌دهیم.
</راهنمایی>
<پاسخ>
$$f(n)=\sum_{d|n} d!$$
</پاسخ>

**مثال**:
فرض کنید $n$ یک عدد طبیعی به صورت $2^k$ باشد. ثابت کنید:
$$1 + \frac{k}{2} \le \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i} \le k+1$$
سپس ثابت کنید:
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i} = \infty$$
<پاسخ>
$$H=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}$$
داریم:
$$
\begin{array}{cc}
1 = \frac{1}{1} \le \frac{1}{1} \le \frac{1}{1} = 1\\
\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \le \frac{1}{2} \le \frac{1}{1} = 1\\
\frac{1}{2}=\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{3}+\frac{1}{4} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\\
\frac{1}{2}=\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \le \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \le \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1\\
... \\
\frac{1}{2}=\underbrace{\frac{1}{2^{k}} + \frac{1}{2^{k}} + ... \frac{1}{2^{k}}}_{\text{تا } 2^{k-1}} \le \frac{1}{2^{k-1}+1} + \frac{1}{2^{k-1}+2} + ... + \frac{1}{2^k} \le \underbrace{\frac{1}{2^{k-1}} + \frac{1}{2^{k-1}} + ... \frac{1}{2^{k-1}}}_{\text{تا } 2^{k-1}} = 1
\end{array}
$$
با جمع کردن نابرابری‌های بالا داریم:
$$1 + \frac{k}{2} \le H \le k+1$$
و حکم ثابت می‌شود.

از همین روش، قسمت دوم مسئله را اثبات می‌کنیم:
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i} \ge (\frac{1}{1}) + (\frac{1}{2}) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) + ...$$
$$=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + ... = \infty$$
</پاسخ>
----
===== یک پله بالاتر =====

==== خواص دیگری از سیگما ====
سیگما خواصی دیگر نیز دارد که برخی از آن‌ها در زیر آمده است:
  * فرض کنید دو مجموعه‌ی $A$ و $B$ داریم که به ازای هر عضو $A$ مانند $x$، یک عضو از $B$ مانند $\sigma(x)$ متناظر شده باشد و این تناظر، [[آموزش:ترکیبیات:اصل_تناظر_یک_به_یک|یک به یک]] باشد. در این صورت: $$\sum_{y \in B} f(y) = \sum_{x \in A} f\big(\sigma(x)\big)$$
  * فرض کنید $f$ تابعی ناکاهشی (صعودی) و $g$ تابعی ناافزایشی (نزولی) باشد. با گرفتن مستطیل‌هایی با یک ضلع واحد، برای تقریب زدن انتگرال، داریم: $$\int_{a-1}^{b} f(s) ds \le \sum_{i=a}^{b}f(i) \le \int_{a}^{b+1}f(s) ds$$ و $$\int_{a}^{b+1} g(s) ds \le \sum_{i=a}^{b}g(i) \le \int_{a-1}^{b}g(s) ds$$

==== دنباله‌ی هارمونیک ====

دنباله‌ی
$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, ...$
را در نظر بگیرید. به این سری، [[http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_number|سری هارمونیک]] می‌گویند. مجموع اعداد این سری در [[آموزش:ترکیبیات:سیگما#چند_مثال|مثال‌ها]] بررسی شد و به دست آمد که مجموع اعداد سری هارمونیک، تا عضو $n$-ام از
$\theta(lg(n))$
و مجموع تمام اعضا، برابر $\infty$ است. 

این سری کاربردهای بسیاری دارد. برای مثال در تحلیل پیچیدگی زمانی [[آموزش:الگوریتم‌های_تکمیلی:غربال_اراتستن|الگوریتم غربال اراتستن]] از این سری استفاده می‌شود.
----

===== منابع و مراجع =====

  - [[http://en.wikipedia.org/wiki/Summation|سیگما، ویکی‌پدیا]]
  - [[http://www.mathtutor.ac.uk/functions/sigmanotation/text|سیگما، mathtutor]]
  - [[http://en.wikipedia.org/wiki/Series_%28mathematics%29|سری‌ها، ویکی‌پدیا]]


----

خواننده‌ی گرامی، لطفا در صورت داشتن پیشنهاد یا مشاهده‌ی مشکل (علمی، تایپی و …) در این صفحه، به ما اطلاع دهید:

~~DISCUSSION~~