====== تبدیل‌ها ======

فرض کنید $n$ نفر داریم. می‌خواهیم $r$ تا از آن‌ها را انتخاب کنیم و به آن‌ها جایگشت دهیم. این کار، یک **تبدیل** $r$ تایی از $n$ نفر به ما می‌دهد.

تبدیل $r$ از $n$ با نماد $P_r^n$ یا $P(n, r)$ نشان می‌دهیم. حرف $P$ از کلمه‌ی permutation می‌آید.

===== فرمول تبدیل =====

می‌خواهیم فرمولی برای تبدیل $r$ از $n$ یا همان $P_r^n$ بیابیم. برای جایگشت $r$ نفره‌ی خود، $r$ جایگاه در نظر می‌گیریم. در جایگاه اول، به $n$ طریق یک نفر می‌تواند قرار بگیرد. در جایگاه دوم، به $n-1$ طریق، یک نفر می‌تواند قرار بگیرد. به همین ترتیب تعداد حالت‌های جایگاه‌های بعدی نیز مشخص می‌شوند. پس:
$$P_r^n=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)$$
$$=n(n-1)(n-2)...(n-r+1) \times \frac{(n-r)\times(n-r-1)\times...\times1}{(n-r)\times(n-r-1)\times...\times1}$$
پس:
$$P_r^n=\frac{n!}{(n-r)!}$$

به ویژه:
$$P_n^n=\frac{n!}{0!}=n!$$

===== یک مثال =====

**مثال**:
چند عدد ۳ رقمی با ارقام متمایز از ارقام $1, 2, ..., 8$ وجود دارد؟

<پاسخ>
پاسخ برابر انتخاب کردن ۳ رقم از ۸ رقم موجود و جایگشت دادن آن‌هاست که برابر $P_3^8$ است.
</پاسخ>

===== سایر مثال‌ها =====

توجه: ابتدا به اندازه‌ی کافی روی مسئله‌ها فکر کنید و سپس به پاسخ مراجعه کنید.

**مثال**:
در چند جایگشت
$<a_1, a_2, ..., a_9>$
از اعداد $1, 2, ..., 9$، شرط
$a_1<a_2<a_3$
برقرار است؟

<پاسخ>
ابتدا اعداد $a_4, a_5, ..., a_9$ را به $P_6^9$ طریق انتخاب می‌کنیم و جایگشت می‌دهیم. ۳ عدد باقی‌مانده به صورت یکتا از کوچک به بزرگ باید در ۳ مکان باقی‌مانده قرار بگیرند. پس پاسخ برابر
$$P_6^9\times1=\frac{9!}{3!}$$
است.

در روشی دیگر می‌توان گفت به ازای هر جایگشتی که پاسخ مسئله باشد، ۶ [[جایگشت‌های_خطی|جایگشت خطی]] از اعداد $1, 2, ..., 9$ وجود دارد (با جایگشت دادن $a_1, a_2, a_3$). پس پاسخ $\frac{1}{6}$ تعداد جایگشت‌های ۹ عنصره و برابر $\frac{9!}{6}$ است.
</پاسخ>

**مثال**:
ثابت کنید:
$$P_r^n=nP_{r-1}^{n-1}$$

<پاسخ>
$$nP_{r-1}^{n-1}=n\times \frac{(n-1)!}{((n-1)-(r-1))!}$$
$$=\frac{n!}{(n-r)!}=P_r^n$
در بخش دوگانه‌شماری و اتحادهای ترکیبیاتی، روش‌هایی بهتر برای اثبات نیز خواهیم یافت.
</پاسخ>

===== مسائل نمونه =====