المپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

ابزار سایت


سوالات المپیاد:مرحله‌ی اول:دوره‌ی ۹:سوال ۲۵

سوال ۲۵

اعداد ۱۶٬۱۵٬۱۴٬۱۲٬۱۱٬۱۰٬۹٬۸٬۷ و ۱۸ مجموع دوبه‌دوی ۵ عدد طبیعی متفاوت هستند.

تعداد اعداد فرد در این ۵ عدد چندتا است؟

  1. ۱
  2. ۲
  3. ۳
  4. ۴
  5. ۵

پاسخ

گزینه (؟) درست است.

گر تعداد فردها را $a$ و تعداد زوج‌ها را $5-a$ در نظر بگیریم آن‌گاه تعداد اعداد فرد تولید شده برابر $\binom{a}{1} \binom{5-a}{1}$ خواهد شد٬ بنابراین:

$$\binom{a}{1} \binom{5-a}{1}=4 \quad \Rightarrow \quad a^2-5a+4=0 \quad \Rightarrow \quad (a-1)(a-4)=0 \quad \Rightarrow \quad a=1 \quad or \quad a=4$$

اگر $a=1$ یعنی فقط یک عدد فرد داشته باشیم و آن را $x$ و اعداد زوج را $y_3،y_2،y_1$ و $y_4$ بنامیم آن‌گاه:

$$x+y_1=7 \quad\quad\quad\quad\quad\quad x+y_3=11 \\ x+y_2=9 \quad\quad\quad\quad\quad\quad x+y_4=15$$

از تساوی‌های فوق معلوم می‌شود که اعداد زوج به ترتیب به صورت $y_1+4،y_1+2،y_1$ و $y_1+8$ می‌باشند معلوم است که کوچک‌ترین اعداد یعنی ۸ را دو عدد $y_1$ و $y_1+2$ تولید می‌کنند بنابراین $2y+2=8$ یا $y_1=3$ و این با زوج بودن $y_1$ در تضاد است.


ابزار صفحه